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Hallo!
Beim Majorantenkriterium wird ja gefordert, dass alle Glieder der Majorante nichtnegativ sind. Ich sehe aber nciht, dass im Beweis explizit davon Gebrauch gemacht wird. Wozu braucht es die Voraussetzung dann? Es genügt ja[mm] |a_k|\le c_k [/mm] fast immer
Ab einem Index m ist:
[mm]\summe_{k=m}^n|a_k|\le\summe_{k=m}^nc_k\le\summe_{k=m}^\infty c_k [/mm]
Womit die Konvergenz von [mm]\summe_{k=m}^\infty |a_k| [/mm]gezeigt ist. Da es aber bei der Konvergenz auf ein endliches Anfangsstück nicht ankommt konvergiert auch [mm]\summe_{k=0}^\infty |a_k| [/mm]
Was hab ich da falsch verstanden?
Danke im Voraus!
Angelika
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> Hallo!
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> Beim Majorantenkriterium wird ja gefordert, dass alle
> Glieder der Majorante nichtnegativ sind. Ich sehe aber
> nciht, dass im Beweis explizit davon Gebrauch gemacht wird.
> Wozu braucht es die Voraussetzung dann? Es genügt ja[mm] |a_k|\le c_k[/mm]
> fast immer
Hallo,
ja, das genügt.
Das Majorantenkriterium wird ja auch oftmals so formuliert.
Wenn man das Kriterium zunächst mit " [mm] |a_k|\le c_k [/mm] immer" formuliert und beweist, verliert man allerdings auch nichts, denn man kann es ja trotzdem für den "fast immer"-Fall verwenden, indem man zunächst eine endliche Summe abtrennt (konvergiert auf jeden Fall) und für das "hintere Stück" dann das "immer"-Majorantenkriterium verwendet.
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> Ab einem Index m ist:
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> [mm]\summe_{k=m}^n|a_k|\le\summe_{k=m}^nc_k\le\summe_{k=m}^\infty c_k[/mm]
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> Womit die Konvergenz von [mm]\summe_{k=m}^\infty |a_k| [/mm]gezeigt
> ist. Da es aber bei der Konvergenz auf ein endliches
> Anfangsstück nicht ankommt konvergiert auch
> [mm]\summe_{k=0}^\infty |a_k|[/mm]
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> Was hab ich da falsch verstanden?
Ich glaub', daß Du nichts falsch verstanden hast,
und ich hoffe, daß ich auf das geantwortet habe, was Du wissen wolltest.
Gruß v. Angela
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Ja, danke, genau das wollte ich wissen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Di 11.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Beim Majorantenkriterium wird ja gefordert, dass alle
> Glieder der Majorante nichtnegativ sind. Ich sehe aber
> nciht, dass im Beweis explizit davon Gebrauch gemacht wird.
> Wozu braucht es die Voraussetzung dann? Es genügt ja[mm] |a_k|\le c_k[/mm]
> fast immer
Ist dann [mm] \summe_{k=1}^\infty c_k [/mm] konvergent, so konvergiert [mm] \summe_{k=1}^\infty a_k [/mm] absolut
FRED
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> Ab einem Index m ist:
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> [mm]\summe_{k=m}^n|a_k|\le\summe_{k=m}^nc_k\le\summe_{k=m}^\infty c_k[/mm]
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> Womit die Konvergenz von [mm]\summe_{k=m}^\infty |a_k| [/mm]gezeigt
> ist. Da es aber bei der Konvergenz auf ein endliches
> Anfangsstück nicht ankommt konvergiert auch
> [mm]\summe_{k=0}^\infty |a_k|[/mm]
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> Was hab ich da falsch verstanden?
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> Danke im Voraus!
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> Angelika
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