matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionenMajorantenkriterium
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Funktionen" - Majorantenkriterium
Majorantenkriterium < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Majorantenkriterium: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:35 Mi 17.02.2010
Autor: fagottator

Aufgabe
Seien [mm] f_{n} [/mm] : D [mm] \to \IC [/mm] Funktionen für n [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty} [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Dann konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty} f_{n} [/mm] gleichmäßig und absolut auf D.

Beweis:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty} [/mm] < [mm] \infty [/mm] ,d.h. die Reihe konvergiert [mm] \Rightarrow \summe_{n=k}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty} \to [/mm] 0 (k [mm] \to \infty) [/mm] ,d.h. [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] k [mm] \ge [/mm] N : [mm] \summe_{n=k}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty} [/mm] < [mm] \varepsilon \Rightarrow \forall m\ge [/mm] k [mm] \ge [/mm] N : [mm] ||\summe_{n=k}^{m} f_{n}||_{\infty} \le \summe_{n=k}^{m} ||f_{n}||_{\infty} [/mm] < [mm] \varepsilon \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} f_{n} [/mm] konvergiert gleichmäßig.

Ich versteh den Beweis leider nicht ganz. Kann mir jemand helfen?

[mm] "\summe_{n=1}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty} [/mm] < [mm] \infty [/mm] ,d.h. die Reihe konvergiert " Warum folgt das?

[mm] "\summe_{n=k}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty} \to [/mm] 0 (k [mm] \to \infty)" [/mm] Gilt das, weil die Reihe konvergiert?

[mm] "\forall m\ge [/mm] k [mm] \ge [/mm] N : [mm] ||\summe_{n=k}^{m} f_{n}||_{\infty} \le \summe_{n=k}^{m} ||f_{n}||_{\infty} [/mm] < [mm] \varepsilon \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} f_{n} [/mm] konvergiert gleichmäßig." Das m wähle ich doch einfach nur [mm] \ge [/mm] k damit die Summe existiert und damit die zweite Ungleichung stimmt, da ich ja oben "< [mm] \varepsilon" [/mm] sogar für "bis [mm] \infty" [/mm] gezeigt habe und damit ich ganz zum Schluss das Cauchy-Kriterium anwenden kann, oder?

        
Bezug
Majorantenkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:36 Mi 17.02.2010
Autor: nooschi


> Seien [mm]f_{n}[/mm] : D [mm]\to \IC[/mm] Funktionen für n [mm]\in \IN[/mm] mit:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty}[/mm] < [mm]\infty.[/mm] Dann
> konvergiert [mm]\summe_{n=1}^{\infty} f_{n}[/mm] gleichmäßig und
> absolut auf D.
>  
> Beweis:
>  [mm]\summe_{n=1}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty}[/mm] < [mm]\infty[/mm] ,d.h.
> die Reihe konvergiert [mm]\Rightarrow \summe_{n=k}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty} \to[/mm]
> 0 (k [mm]\to \infty)[/mm] ,d.h. [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N
> [mm]\in \IN \forall[/mm] k [mm]\ge[/mm] N : [mm]\summe_{n=k}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty}[/mm]
> < [mm]\varepsilon \Rightarrow \forall m\ge[/mm] k [mm]\ge[/mm] N :
> [mm]||\summe_{n=k}^{m} f_{n}||_{\infty} \le \summe_{n=k}^{m} ||f_{n}||_{\infty}[/mm]
> < [mm]\varepsilon \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} f_{n}[/mm]
> konvergiert gleichmäßig.
>  Ich versteh den Beweis leider nicht ganz. Kann mir jemand
> helfen?
>  
> [mm]"\summe_{n=1}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty}[/mm] < [mm]\infty[/mm] ,d.h.
> die Reihe konvergiert " Warum folgt das?

weil die Folge [mm]s_k=\summe_{n=1}^{k} ||f_{n}||_{\infty} < \infty[/mm] monoton wachsend (Normen sind immer [mm] $\ge [/mm] 0$) und beschränkt ist [mm] \Rightarrow [/mm] konvergent.


> [mm]"\summe_{n=k}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty} \to 0 (k \to \infty)"[/mm]
> Gilt das, weil die Reihe konvergiert?

Ja, da benutzt du am besten das "Cauchy-Kriterium für Reihen", also du weisst, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty}[/mm] konvergiert, also muss es zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] >0$ ein [mm] n_{\epsilon} [/mm] geben, sodass [mm]\summe_{k=m+1}^{n} ||f_{k}||_{\infty}<\epsilon\ \ \ \forall n>m>n_\epsilon[/mm]
damit hast du ja schon, was du als nächstes brauchst


ah, was natürlich auch geht (damit man auch schön auf das [mm] \infty [/mm] kommt):
du weisst, dass [mm]\sum_{n=1}^{k-1}||f_{n}||_{\infty}\rightarrow\summe_{n=1}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty} (k\rightarrow\infty)[/mm]
d.h. [mm]\summe_{n=k}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty}= |\summe_{n=1}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty}-\sum_{n=1}^{k-1}||f_{n}||_{\infty}|\rightarrow 0 (k\rightarrow\infty)[/mm]

> [mm]"\forall m\ge[/mm] k [mm]\ge[/mm] N : [mm]||\summe_{n=k}^{m} f_{n}||_{\infty} \le \summe_{n=k}^{m} ||f_{n}||_{\infty}[/mm]
> < [mm]\varepsilon \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} f_{n}[/mm]
> konvergiert gleichmäßig." Das m wähle ich doch einfach
> nur [mm]\ge[/mm] k damit die Summe existiert und damit die zweite
> Ungleichung stimmt, da ich ja oben "< [mm]\varepsilon"[/mm] sogar
> für "bis [mm]\infty"[/mm] gezeigt habe und damit ich ganz zum
> Schluss das Cauchy-Kriterium anwenden kann, oder?

ja




(ich bin mir bei meiner Antwort nicht 100% sicher, deshalb setzte ich sie nur auf halb beantwortet)


Bezug
        
Bezug
Majorantenkriterium: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Fr 19.02.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]