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| Aufgabe | Untersuchen Sie die unendliche Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n + \wurzel{n}}{\wurzel{n^{5} + 6n + 6}} [/mm] |
Hi,
tut mir leid, dass ich so viele Fragen in letzter Zeit poste, allerdings macht mir das Majorantenkriterium etwas zu schaffen. Folgenden Ansatz habe ich gewaehlt:
[mm] a_{n} \le \bruch{2n}{n^{5}}
[/mm]
So (denke ich), hat man definitiv eine Majorante der Ursprungsreihe, oder? Durch den Wegfall der Wurzel wird der Zaehle groeßer ==> Ergebnis wird groeßer. Wurzel im Nenner + 6n + 6 wurden gestrichen damit der Nenner kleiner wird. Sind meine Ueberlegungen so richtig?
=
[mm] \bruch{2}{n^4}
[/mm]
Da das eine Darstellung der harmischen Reihe mit [mm] \bruch{2}{a^{k}} [/mm] mit k > 1, folgt: Absolut konvergent, somit konvergiert auch die Ursprungsreihe.
Ist das so richtig, oder denke ich falsch?
Vielen herzlichen Dank im voraus :).
MFG Tim
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Hallo Tim,
> Untersuchen Sie die unendliche Reihe auf Konvergenz:
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n + \wurzel{n}}{\wurzel{n^{5} + 6n + 6}}[/mm]
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> Hi,
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> tut mir leid, dass ich so viele Fragen in letzter Zeit
> poste, allerdings macht mir das Majorantenkriterium etwas
> zu schaffen. Folgenden Ansatz habe ich gewaehlt:
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> [mm]a_{n} \le \bruch{2n}{n^{5}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> So (denke ich), hat man definitiv eine Majorante der
> Ursprungsreihe, oder? Durch den Wegfall der Wurzel wird der
> Zaehle groeßer ==> Ergebnis wird groeßer. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Wurzel im Nenner
> + 6n + 6 wurden gestrichen damit der Nenner kleiner wird.
> Sind meine Ueberlegungen so richtig?
Ja, aber du hast es falsch aufgeschrieben! Wo ist die Wurzel hin?
Es ist $a_n\le\frac{2n}{\sqrt{n^5}}=2\cdot{}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}$
Die Reihen $\sum\frac{1}{n^{s}}$ konvergieren bekanntlich für $s>1$ und divergieren für $s\le 1$
Also ist $2\sum\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}$ eine Majorante
>
> =
>
> [mm]\bruch{2}{n^4}[/mm]
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> Da das eine Darstellung der harmischen Reihe mit
> [mm]\bruch{2}{a^{k}}[/mm] mit k > 1, folgt: Absolut konvergent,
> somit konvergiert auch die Ursprungsreihe.
>
> Ist das so richtig, oder denke ich falsch?
Nein, du hast das Prinzip kapiert, nur mit dem Weglassen der Wurzel den Nenner vergrößert, obwohl du ihn verkleinern wolltest (und das verbal ja auch richtig beschrieben hast) 
>
> Vielen herzlichen Dank im voraus :).
>
> MFG Tim
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Fr 06.02.2009 | | Autor: | evilmaker |
Obergeil :D.
Vielen vielen vielen Dank fuer deine Muehen!
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