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Majoranten finden: Parameterintegrale
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Fr 01.04.2011
Autor: dennis2

Aufgabe
[mm] F(t):=\integral_0^{\infty} \bruch{e^{-x}-e^{-tx}}{x} [/mm] dx

Kann man dieses Integral unter dem Integral differenzieren?

1.) Die Funktion unterm Integral ist stetig und stetig nach t differenzierbar, wobei [mm] e^{-tx} [/mm] die partielle Ableitung nach t ist.

2.) Meiner Ansicht nach ist [mm] e^{-x} [/mm] Majorante von der Funktion unterm Integral und der partiellen Ableitung nach t.

3.) Die uneigentlichen Integrale (von 0 bis unendlich) von [mm] e^{-x} [/mm] konvergiert.


Daher sind m.E. alle Voraussetzungen erfüllt, die für ein uneigentliches Parameterintegral gelten müssen und man darf unterm Integral differenzieren.



Stimmt das?

        
Bezug
Majoranten finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:38 Fr 01.04.2011
Autor: Blech

Hi,

> 2.) Meiner Ansicht nach ist $ [mm] e^{-x} [/mm] $ Majorante von der Funktion unterm Integral und der partiellen Ableitung nach t.

Das ist keine Begründung, sondern das Prinzip Hoffnung. =)

Wie kommst Du darauf?

ciao
Stefan

Bezug
                
Bezug
Majoranten finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:47 Sa 02.04.2011
Autor: dennis2

> > 2.) Meiner Ansicht nach ist [mm]e^{-x}[/mm] Majorante von der
> Funktion unterm Integral und der partiellen Ableitung nach
> t.
>  
> Das ist keine Begründung, sondern das Prinzip Hoffnung.
> =)
>  
> Wie kommst Du darauf?

Hm, wie komme ich darauf:

[mm] |\bruch{e^{-x}-e^{-tx}}{x}|=\bruch{|e^{-x}-e^{-tx}|}{|x|}\leq |e^{-x}-e^{-tx}|\leq e^{-x} [/mm]

und

[mm] |e^{-tx}|\leq e^{-x} [/mm]

[Oder nicht?]

Ganz sicher bin ich mir nicht.

Bezug
                        
Bezug
Majoranten finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 Sa 02.04.2011
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

> [mm] $\bruch{e^{-x}-e^{-tx}}{x}|=\bruch{|e^{-x}-e^{-tx}|}{|x|}$ [/mm]

[ok]

Und jetzt hörts leider auf mit dem korrekten Umformen...

[mm] $\leq |e^{-x}-e^{-tx}|$ [/mm]

Warum? x kommt doch aus dem Intervall [mm] $(0,\infty)$ [/mm] und damit ist bspw. auch $x = [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] möglich und dafür stimmt die Umformung offensichtlich nicht.

[mm] $\le e^{-x}$ [/mm]

Auch hier ist was falsch: Es würde stimmen, wenn vorher kein Betrag stehen würde. Tut es aber, d.h. die Abschätzung stimmt für [mm] $e^{-tx} [/mm] >> [mm] e^{-x}$ [/mm] nicht mehr (also bspw. wenn x sehr groß und $t=-1$).

> [mm]|e^{-tx}|\leq e^{-x}[/mm]

t ist doch beliebig, also auch hier nimm [mm] $t=\bruch{1}{2}$ [/mm] (bedenke weiterhin [mm] $x\in (0,\infty)$ [/mm] und schon gehts kaputt.

MFG,
Gono.

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Majoranten finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:43 Sa 02.04.2011
Autor: dennis2

Aufgabe
Okay, das ging also schief.

Gibt es denn jeweils eine Majorante zu finden?

Ich komme an dieser Stelle nun nicht weiter.
Wer kann mir helfen Majoranten zu finden?

Bezug
                                        
Bezug
Majoranten finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 Sa 02.04.2011
Autor: Blech

Hi,

Majorante nicht, aber wenn Du für die Ableitung mal die Definition (Grenzwert des Differenzenquotients) einsetzt, dann hilft der Satz von der monotonen Konvergenz, denk ich.

ciao
Stefan

Bezug
                                                
Bezug
Majoranten finden: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:53 Sa 02.04.2011
Autor: dennis2

Aufgabe
Es muss aber etwas mit Parameterintegralen zu tun haben, denn diese Aufgabe hatte als Hinweis:

Differenzieren sie unter dem Integral.


Und daher wollte ich mal überprüfen, warum man das überhaupt darf. Es muss also um Parameterintegrale gehen. Und zwar um uneigentliche Parameterintegrale.

...

Bezug
                                                        
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Majoranten finden: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mo 04.04.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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