Majoranten- / Minorantenkrit. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Mo 18.07.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Geben sie an ob konvergent oder divergent. Benutzen sie das Majoranten- / Minorantekriterium.
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^n}$ [/mm] |
Soll also hier durch das Vergleichskriterium herausfinden ob die Reihe konvergiert oder divergiert. Mein Problem dabei ist, dass ich vom Ablauf her nicht weiß was ich da machen soll. Kann mir das jemand Schritt für Schritt erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Mo 18.07.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^n}\le 2\left(1+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^n}\right)\le2\left[1+\sum_{n=2}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n\right]=2+2*\left[\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}-1-\bruch{1}{2}\right]=3
[/mm]
Da die größere Reihe konvergiert muss auch die kleiner Reihe konvergieren.
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Hallo bandchef,
> Geben sie an ob konvergent oder divergent. Benutzen sie das
> Majoranten- / Minorantekriterium.
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^n}[/mm]
>
> Soll also hier durch das Vergleichskriterium herausfinden
> ob die Reihe konvergiert oder divergiert. Mein Problem
> dabei ist, dass ich vom Ablauf her nicht weiß was ich da
> machen soll. Kann mir das jemand Schritt für Schritt
> erklären?
Na, Du brauchst eine Reihe, mit der Du vergleichen kannst. Ziel ist, eine divergente Minorante zu finden (dann divergiert auch die untersuchte Reihe) oder eine konvergente Majorante (dann konvergiert auch die untersuchte Reihe). Alle anderen Funde sind nutzlos.
Nun hat ullim Dir schon eine mehrstufige Abschätzung gegeben.
Die Frage ist natürlich auch, was Du an Vorwissen über andere Reihen verwenden darfst.
Hier bieten sich zum direkten Vergleich aber auch diese beiden Reihen an:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2}{n^2}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}2^{2-n}
[/mm]
Es gibt natürlich noch mehr...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mo 18.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also, wenn ich das richtig verstehe, muss man wissen, welche Reihe am ehesten der enstpricht die man vor sich hat, damit man weiß wie man abschätzen kann. Stimmt das so?
Es gibt also hier kein Patentrezept.
Wenn ich jetzt mal Ullims Beispiel aufgreife, dann verstehe ich das mal soweit:
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^n}\le 2\left(1+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^n}\right)\le2\left[1+\sum_{n=2}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n\right]=2+2\cdot{}\left[\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}-1-\bruch{1}{2}\right]=3 $
Am Anfang schreibt man also die Ausgangsreihe hin. Dann versucht man die Reihe umzuformen. Warum zieht man nun die 2 vor die Summe?
Warum darf man das $\frac{1}{n^n}$ "einfach so" zu $\left( \frac{1}{2}\right)^n \right)$ vereinfachen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mo 18.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also, wenn ich das richtig verstehe, muss man wissen,
> welche Reihe am ehesten der enstpricht die man vor sich
> hat, damit man weiß wie man abschätzen kann. Stimmt das
> so?
Kann man so sagen...
>
> Es gibt also hier kein Patentrezept.
Ja, gibt es nicht.
>
> Wenn ich jetzt mal Ullims Beispiel aufgreife, dann verstehe
> ich das mal soweit:
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^n}\le 2\left(1+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^n}\right)\le2\left[1+\sum_{n=2}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n\right]=2+2\cdot{}\left[\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}-1-\bruch{1}{2}\right]=3[/mm]
>
>
> Am Anfang schreibt man also die Ausgangsreihe hin.
Das muß man nicht tun.
> Dann
> versucht man die Reihe umzuformen. Warum zieht man nun die
> 2 vor die Summe?
>
> Warum darf man das [mm]\frac{1}{n^n}[/mm] "einfach so" zu [mm]\left( \frac{1}{2}\right)^n \right)[/mm]
> vereinfachen?
Du weißt, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^n [/mm] konvergiert.
Weiter ist [mm] n^n \ge 2^n [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2. Somit ist [mm] \frac{1}{n^n} \le (\frac{1}{2})^n [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.
Nach dem Majorantenkrit. ist dann [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n} [/mm] konvergent.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Mo 18.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Warum verändert Ullim den Startwert des Laufindexes von 1 auf 2. Diese Shifts in den Laufvariablen hab ich auch noch nicht ganz verstanden.
Irgendwie hab ich das Gefühl, dass das (leider) wieder so ein Aufgabentyp ist, bei dem man nur mit sehr viel Erfahrung weiter kommt. In meinen Übungsaufgaben die ich da so hab, läufts meistens auf eine geometrische bzw. harmonische Reihe raus.
Was hat Ullim eigentlich im letzten Schritt gemacht?
$... = [mm] 2+2\cdot{}\left[\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}-1-\bruch{1}{2}\right]=3 [/mm] $
Ich weiß, dass diese Formel die er da am Schluss angewendet hat irgendwie mit der harmonischen Reihe zusammenhängt. Soweit ich mich aber entsinne, war das aber nur der große Bruch in den eckigen Klammern; und was sind dann die letzten beiden Summanden? Also ich mein das -1 und das -1/2 in den eckigen Klammern.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Mo 18.07.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Warum verändert Ullim den Startwert des Laufindexes von 1
> auf 2. Diese Shifts in den Laufvariablen hab ich auch noch
> nicht ganz verstanden.
Die Idee ist ja, die Größe in der Reihe durch den Term [mm] \left(\bruch{1}{2}\right)^n [/mm] abzuschätzen. Wenn man das hinbekommen hat, weiss man, das das eine geometrische Reihe (nicht harmonische Reihe) ergibt die konvergent ist. Um das aber zu erreichen muss man den ersten Summanden separat behandeln, den der ist ja 1 und deshalb nicht kleiner als [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Aus diesem Grund habe ich die Summe aufgeteilt in den ersten Term und dann die Summe ab n=2 hingeschrieben.
> Irgendwie hab ich das Gefühl, dass das (leider) wieder so
> ein Aufgabentyp ist, bei dem man nur mit sehr viel
> Erfahrung weiter kommt. In meinen Übungsaufgaben die ich
> da so hab, läufts meistens auf eine geometrische bzw.
> harmonische Reihe raus.
>
> Was hat Ullim eigentlich im letzten Schritt gemacht?
>
> [mm]... = 2+2\cdot{}\left[\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}-1-\bruch{1}{2}\right]=3[/mm]
>
> Ich weiß, dass diese Formel die er da am Schluss
> angewendet hat irgendwie mit der harmonischen Reihe
> zusammenhängt. Soweit ich mich aber entsinne, war das aber
> nur der große Bruch in den eckigen Klammern; und was sind
> dann die letzten beiden Summanden? Also ich mein das -1 und
> das -1/2 in den eckigen Klammern.
Es gilt
[mm] \sum_{n=2}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n=\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n-1-\bruch{1}{2}
[/mm]
denn die Formel für die geometrische Reihe gilt ja nur, wenn der Index ab n=0 läuft. Also habe ich die Terme für n=0 und n=1 dazu addiert und wieder abgezogen. Damit geht jetzt der Summen Index von n=0 los.
und es gilt
[mm] \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n=\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 18.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
wenn Du weißt, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm] konvergent ist, bist Du ja ohne weiteres Rechnen direkt fertig:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^n}<\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Mo 18.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
da hat man wieder die frage nach dem "was darf man voraussetzen und was nicht" :-/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Mo 18.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo,
> da hat man wieder die frage nach dem "was darf man
> voraussetzen und was nicht" :-/
Ja, aber wenn man viel Arbeit spart, lohnt es sich, die Frage zu stellen. Offenbar setzen immer alle voraus, dass man weiß, dass die harmonische Reihe divergent ist. Wieso sollte man dann nicht wissen, dass die gleiche Reihe mit quadrierten Gliedern (und überhaupt in einer Potenz >1) konvergent ist? Oder darf man es nicht wissen?
Beim anderen Ansatz wird ja auch vorausgesetzt, dass man die Summenformel für die geometrische Reihe kennt. Das dürfte kein allzu großer Vorzug sein. 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Mo 18.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> da hat man wieder die frage nach dem "was darf man
> voraussetzen und was nicht" :-/
In obiger Aufgabe steht: "Benutzen sie das Majoranten- / Minorantekriterium".
Wann kann man das Majoranten- / Minorantekriterium anwenden ? Richtig: man braucht einen [mm] Beispielsack_1 [/mm] = bekannte konvergente Reihen und eine [mm] Beispielsack_2 [/mm] = bekannte divergente Reihen.
Ist einer der beiden Säcke zu klein, so ist man aufgeschmissen
Zu [mm] Beispielsack_1 [/mm] gehören z.B.:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s} [/mm] mit s>1
und zu
[mm] Beispielsack_2 [/mm] gehören z.B.:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s} [/mm] mit 0<s [mm] \le [/mm] 1
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Mo 18.07.2011 | | Autor: | bandchef |
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^n}<\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm] $
So steht das auch in meiner Lösung. Da wir die verallgemeinerte harmonische Reihe besprochen haben, darf ich wohl davon ausgehen, dass ich wissen darf, dass die verallgemeinerte harmonische Reihe für [mm] $\alpha [/mm] > 1$ konvergent ist und für [mm] $\alpha \leq [/mm] 1$ divergent ist. [mm] $\alpha$ [/mm] ist der Exponent des Nenners.
Ich nur viel mehr immer das Problem, dass ich nicht weiß wie man die usprüngliche Reihe verändern darf...
In meiner Lösung steht das so:
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^n} [/mm] = 2 + 2 [mm] \cdot \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^n} \leq [/mm] 2 + 2 [mm] \cdot \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
[/mm]
Da es sich bei der letzten Reihe um eine verallgemeinerte harmonische Reihe mit [mm] $\alpha [/mm] > 1$ handelt, ist die Reihe [mm] $A_n$ [/mm] konvergent.
Mir ist nur noch immer noch nicht ganz klar, was mir die Laufindexverschiebung bringt. Dieser neue Index kommt doch daher weil ich 2 vor die Summe hole. Aber warum?
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Hallo bandchef,
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^n}<\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}[/mm]
>
> So steht das auch in meiner Lösung.
Na, das "echt kleiner" ist "kritisch", für $n=1,2$ gilt nur [mm] $\le$ [/mm] (bzw. "=")
Edit:
Hier gilt insgsamt natürlich auch "<" (klar, warum?); das ist aber längst nicht immer sooo offensichtlich wie hier in dieser Aufgabe.
Für das Majorantenkriterium genügt ja [mm] $\le$, [/mm] was hier elementar gilt. Da kommst du dann auch nicht in einen "Begrüngungszwang"
Das tut sich hier zwar fast nix, aber man sollte es erwähnen ...
Vllt. ist "kritisch" oben das falsche Wort - ersetze es durch "... halte ich für erklärungsbedürftig(er) ..." oder ähnlich
Ich hoffe, du verstehst, was ich sagen möchte ...
Edit Ende
> Da wir die
> verallgemeinerte harmonische Reihe besprochen haben, darf
> ich wohl davon ausgehen, dass ich wissen darf, dass die
> verallgemeinerte harmonische Reihe für [mm]\alpha > 1[/mm]
> konvergent ist und für [mm]\alpha \leq 1[/mm] divergent ist. [mm]\alpha[/mm]
> ist der Exponent des Nenners.
Jo, würde ich doch auch meinen, dass ihr das dann verwenden dürft und sollt!
>
> Ich nur viel mehr immer das Problem, dass ich nicht weiß
> wie man die usprüngliche Reihe verändern darf...
>
> In meiner Lösung steht das so:
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^n} = 2 + 2 \cdot \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^n} \leq 2 + 2 \cdot \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2}[/mm]
>
> Da es sich bei der letzten Reihe um eine verallgemeinerte
> harmonische Reihe mit [mm]\alpha > 1[/mm] handelt, ist die Reihe [mm]A_n[/mm]
> konvergent.
>
> Mir ist nur noch immer noch nicht ganz klar, was mir die
> Laufindexverschiebung bringt.
Naja, das ist keine Indexverschiebung, da ist lediglich der allererste Summand, also der für [mm]n=1[/mm] (das ist [mm]\frac{2}{1^1}=2[/mm]) "herausgezogen" und extra geschrieben.
> Dieser neue Index kommt doch
> daher weil ich 2 vor die Summe hole. Aber warum?
Das ist m.E. völlig unnötig, denn die Abschätzung [mm]n^n\ge n^2[/mm] (und damit [mm]\frac{1}{n^n}\le\frac{1}{n^2}[/mm]) gilt auch für [mm]n=1[/mm]
Man kann also direkt loslegen mit [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^n}=2\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n}\le 2\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/mm] und du hast deine konv. Majorante.
Sprich: Die Musterlösung ist natürlich richtig, aber unnötig umständlich.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Mo 18.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Darf man das hier machen:
[mm] \frac{n^{\frac{1}{2}}}{n^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{n^2 \cdot n^{-\frac{1}{2}}} [/mm] = [mm] \frac{1}{n^{2-\frac{1}{2}}} [/mm] = [mm] \frac{1}{n^{1,5}}
[/mm]
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Hallo bandchef,
> Darf man das hier machen:
>
> [mm]\frac{n^{\frac{1}{2}}}{n^2}[/mm] = [mm]\frac{1}{n^2 \cdot n^{-\frac{1}{2}}}[/mm] = [mm]\frac{1}{n^{2-\frac{1}{2}}}[/mm] = [mm]\frac{1}{n^{1,5}}[/mm]
Na klar, das ist doch "nur" die Anwendung eines altbekannten Potenzgesetzes ...
Aber das ist irgendwie aus dem Zusammenhang mit dieser Aufgabe gerissen, oder?
Mache für neue Fragen, die mit der Ausgangsaufgabe nix zu tun haben, besser einen neuen thread auf ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Mo 18.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo schachuzipus,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^n}<\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}[/mm]
> >
> > So steht das auch in meiner Lösung.
>
> Na, das "echt kleiner" ist "kritisch", für [mm]n=1,2[/mm] gilt nur
> [mm]\le[/mm] (bzw. "=")
Wenn ich mir den Summationsindex so anschaue, ist da nichts kritisch. Natürlich sind die ersten beiden Summanden jeweils gleich, aber danach gilt immer ein "echt kleiner", und damit eben auch für die ganze Summe.
Ich habe nicht geschrieben [mm] \bruch{1}{n^n}<\bruch{1}{n^2}, [/mm] denn da würde (eben wg. n=1, n=2) eindeutig ein [mm] \le [/mm] hingehören.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
> Hallo schachuzipus,
>
> >
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^n}<\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}[/mm]
> > >
> > > So steht das auch in meiner Lösung.
> >
> > Na, das "echt kleiner" ist "kritisch", für [mm]n=1,2[/mm] gilt nur
> > [mm]\le[/mm] (bzw. "=")
>
> Wenn ich mir den Summationsindex so anschaue, ist da nichts
> kritisch. Natürlich sind die ersten beiden Summanden
> jeweils gleich, aber danach gilt immer ein "echt kleiner",
> und damit eben auch für die ganze Summe.
>
> Ich habe nicht geschrieben [mm]\bruch{1}{n^n}<\bruch{1}{n^2},[/mm]
> denn da würde (eben wg. n=1, n=2) eindeutig ein [mm]\le[/mm]
> hingehören.
Meine Güte, ich habe dich doch weder namentlich erwähnt noch deine mathemat. Fähigkeiten angezweifelt...
Ich hatte lediglich angedeutet, dass ich "<" nicht so ohne weiteres schreiben würde, auch wenn es letztlich stimmt, wenn man die ganze Summe betrachtet.
[mm]\le[/mm] genügt für das Majorantenkriterium, das würde ich nehmen, es erspart jeden weiteren Gedanken ...
Also nichts für ungut, wenn ich dir auf den imaginären Schlips getreten haben sollte ...
(Habe ich nicht gemerkt und auch nicht beabsichtigt)
>
> Grüße
> reverend
>
Jo, zurück
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mo 18.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo schachuzipus,
da sieht man mal wieder, dass die schriftliche Kommunikation doch nicht alles übermittelt, z.B. Emotionen nur mit Mühe.
> Meine Güte, ich habe dich doch weder namentlich erwähnt
> noch deine mathemat. Fähigkeiten angezweifelt...
Habe ich auch gar nicht so verstanden.
> Ich hatte lediglich angedeutet, dass ich "<" nicht so ohne
> weiteres schreiben würde, auch wenn es letztlich stimmt,
> wenn man die ganze Summe betrachtet.
Hm. Zur Fehlervermeidung bei (eigentlich sowieso nicht zulässigen Rückschlüssen) ist das sicher sinnvoll.
> [mm]\le[/mm] genügt für das Majorantenkriterium, das würde ich
> nehmen, es erspart jeden weiteren Gedanken ...
Na, darum ging es mir doch gerade, nicht jeden weiteren Gedanken zu ersparen. 
> Also nichts für ungut, wenn ich dir auf den imaginären
> Schlips getreten haben sollte ...
>
> (Habe ich nicht gemerkt und auch nicht beabsichtigt)
Habe ich, wie gesagt, auch gar nicht so verstanden. Um keine betretbaren Flächen anzubieten, trage ich bei solcher Gelegenheit auch einfach keinen Schlips.
Sachkritik ist doch gut, solange es im Forum darum geht, etwas präzise zu fassen.
Liebe Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Mo 18.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
was ullim gemacht hat ist den term gegen die geometrische reihe abzuschätzen (nicht gegen die harmonische, denn die ist divergent). allerdings fängt die reihe, die er abschätzt bei i=2 an zu laufen. deshalb zieht er die beiden terme für i=0 und i=1 (also 1 und [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] wieder ab. (die kommen bei der definition der geometrischen reihe vor
wie bereits vorher gesagt wurde gibt es prinzipiell kein fixes vorgehen bei der majorantensuche (oder der minorantensuche). womit man aber oft weiter kommt, ist jeden term für sich zu versuchen abzuschätzen. manchmal kann es auch helfen gruppen von termen (wie z.B. zweiergruppen von termen, oder flexiebele gruppierungen) abzuschätzen oder einzelne koeffizienten gegen solche abzuschätzen. immerhin benutzt man majoranten i.d.R. bei unendlichen summen und dort ist so ein zusammenfassen von benachbarten termen i.d.R. kein problem. (allerdings vorsicht, falls du die reihenfolge von den termen manipulierst. da geht das nur bei absolut konvergenten reihen)
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