Major Minor Kriterium Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Sa 23.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 1. Seien [mm] $\sum a_{k}$ [/mm] , [mm] $\sum b_{k}$ [/mm] Reihen und gelte $0 [mm] \le |(a_{k})_{k\in \IN}| \le (b_{k})_{k\in \IN}$ [/mm] ab einem [mm] $k_{b}$ [/mm] und es gilt [mm] $\sum b_{k}$ [/mm] ist konvergent. Dann ist [mm] $\sum a_{k}$ [/mm] absolut konvergent.
2. Sei unter denselben Bedingungen [mm] $\sum a_{k}$ [/mm] divergent$, dann zeige man dass auch [mm] $\sum b_{k}$ [/mm] divergent ist. |
Hallo,
Majorantenkriterium:
[mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 ~ [mm] \exists k_{0} [/mm] ~ [mm] \forall [/mm] m [mm] \ge [/mm] n [mm] \ge k_{0}: |\sum_{k=n}^{m}b_{k}|< \epsilon$
[/mm]
mit den Bedingungen [mm] $0\le |a_{k}|\le b_{k}$ [/mm] und [mm] $\sum b_{k}$ [/mm] konvergent folgt:
$ | [mm] \sum a_{k}|\le \sum b_{k} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] ~ [mm] \forall m\ge [/mm] n [mm] \ge k_{0}$
[/mm]
Minorantenkriterium:
[mm] $\exists \epsilon [/mm] > 0 ~ [mm] \forall k_{0} \exists [/mm] m [mm] \ge [/mm] n [mm] \ge k_{0} [/mm] : [mm] |\sum_{k=n}^{m} a_{k}| [/mm] > [mm] \epsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \epsilon [/mm] < [mm] |\sum a_{k}| \le \sum b_{k}$ [/mm]
So OK?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 So 24.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 1. Seien [mm]\sum a_{k}[/mm] , [mm]\sum b_{k}[/mm] Reihen und gelte [mm]0 \le |(a_{k})_{k\in \IN}| \le (b_{k})_{k\in \IN}[/mm]
> ab einem [mm]k_{b}[/mm] und es gilt [mm]\sum b_{k}[/mm] ist konvergent. Dann
> ist [mm]\sum a_{k}[/mm] absolut konvergent.
>
> 2. Sei unter denselben Bedingungen [mm]\sum a_{k}[/mm] divergent,
> dann zeige man dass auch [mm]$\sum b_{k}$[/mm] divergent ist.
>
> Hallo,
>
>
> Majorantenkriterium:
>
> [mm]\forall \epsilon > 0 ~ \exists k_{0} ~ \forall m \ge n \ge k_{0}: |\sum_{k=n}^{m}b_{k}|< \epsilon[/mm]
>
>
> mit den Bedingungen [mm]0\le |a_{k}|\le b_{k}[/mm] und [mm]\sum b_{k}[/mm]
> konvergent folgt:
>
> [mm]| \sum a_{k}|\le \sum b_{k} < \epsilon ~ \forall m\ge n \ge k_{0}[/mm]
das wär' mir zu knapp, weil gerade die entscheidenden Punkte von Dir unterschlagen wurden (zudem würde ich erstmal mit den Teilsummenfolgen argumentieren, aber das ist auch ein wenig Geschmackssache - aber die folgenden Ungleichungen kannst Du gerne auch analog auf Dein Cauchyfolgenkriterium anwenden - allgemein kann man Deine Argumentation aber so "erstmal nur" für Banachräume verwenden, man braucht also die Vollständigkeit). Insbesondere zeigst Du ja anhand Deiner Ungleichung "nur" die Konvergenz von [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k\,;$ [/mm] Du müsstest [mm] $\sum_{k=n}^m |a_k|$ [/mm] bei Dir abschätzen, um die absolute Konvergenz von [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] zu zeigen.
Also jetzt erstmal mein Vorschlag:
Für jedes natürlich [mm] $N\,$ [/mm] gilt
[mm] $$\sum_{k=1}^N|a_k| \le \sum_{k=1}^N |b_k|=\sum_{k=1}^N b_k=|\sum_{k=1}^N b_k|\,,$$
[/mm]
wobei die letzten Gleichheiten wegen [mm] $b_k \ge [/mm] 0$ für alle [mm] $k\,$ [/mm] gelten.
Weil die monoton wachsende Folge [mm] $\Big(\sum_{k=1}^N b_k\Big)_{N \in \IN}=\Big(|\sum_{k=1}^N b_k|\Big)_{N \in \IN}=\Big(\sum_{k=1}^N |b_k|\Big)_{k \in \IN}$ [/mm] nach Voraussetzung (absolut) konvergiert (Konvergenz ist für die Reihe über die [mm] $b_k$ [/mm] wegen der Voraussetzung das Gleiche wie absolute Konvergenz), ist die monoton wachsende Folge [mm] $\Big(\sum_{k=1}^N |a_k|\Big)_{N \in \IN}$ [/mm] nach oben beschränkt, also konvergent - kürzer gesagt:
Nach dem Majorantenkriterium konvergiert [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] absolut. (Insbesondere konvergiert also auch [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k\,.$)
[/mm]
(Um zu zeigen, dass die absolute Konvergenz einer Reihe auch deren Konvergenz impliziert, sollte man das Cauchy-Kriterium verwenden. Dies gilt nämlich nur in vollständig normierten Räumen. Wenn ich mich nicht täusche, kann man auch eine "Restglied-Abschätzung" machen, aber auch das bringt einem nur in vollständig normierten Räumen etwas, sofern ich da gerade nicht verquert denke und mich falsch erinnere. Aber diese Behauptung meinerseits darf gerne nochmal von jmd. wissenden kommentiert und ggf. korrigiert werden!!!)
--
Hinweis:
Ersetzt Du bei Dir oben einfach [mm] $|\sum a_k|$ [/mm] durch [mm] $\sum |a_k|\;\;\;\Big(=\sum_{k=n}^m |a_k|\Big)\,,$ [/mm] so ist alles in Ordnung. Oder Du schreibst halt ein wenig ausführlicher
[mm] $$|\sum a_k| \le \sum |a_k| \le \sum b_k\,.$$
[/mm]
> Minorantenkriterium:
>
> [mm]\exists \epsilon > 0 ~ \forall k_{0} \exists m \ge n \ge k_{0} : |\sum_{k=n}^{m} a_{k}| > \epsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \epsilon < |\sum a_{k}| \le \sum b_{k}[/mm]
>
>
> So OK?
Hier wäre es besser, anstatt [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ eher [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ (sozusagen ein "Ausnahme-Epsilon", was wir Epsilon-Null nennen wollen - nur aus didaktischen Gründen!) zu schreiben.
Hier fehlt aber etwas entscheidendes, nämlich die verallgemeinerte Dreiecksungleichung (die Indizes spare ich mir hier, [mm] $\sum$ [/mm] steht für [mm] $\sum_{k=n}^m$):
[/mm]
$$0 < [mm] \epsilon_0 \le |\sum a_k| \le \sum |a_k| \le \sum b_k=|\sum b_k|=\sum |b_k|\,.$$
[/mm]
Damit passt's dann! (Weil die Reihe [mm] $\sum_k=1^\infty b_k$ [/mm] dann also nach dem Cauchy-Kriterium divergiert.)
--
Hinweis: Deine Ungleichung ist auch hier nicht falsch, aber sie ist nicht ganz offensichtlich - man sollte halt die Dreiecksungleichung ruhig nochmal dazwischenschalten, um's deutlich zu machen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 So 24.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Korrektur
Vielen Dank!
> GruB
Gruss
kushkush
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