Mächtigkeit von Mengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Sa 26.11.2005 | | Autor: | Kuebi |
Hallo ihr!
Folgende zwei Aufgaben kann ich noch nicht so recht knacken!
Zeigen Sie
a) Zwei Intervalle [a,b] und [c,d] [mm] \subset \IR [/mm] sind stets gleichmächtig? (Ist auch (0,1) gleichmächtig wie [mm] \IR?).
[/mm]
b) Es gibt keine ordnungserhaltende Bijektion von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IQ, [/mm] d.h. keine Bijektion [mm] \gamma: \IN \to \IQ [/mm] mit n < m [mm] \Rightarrow \gamm(n) [/mm] < [mm] \gamma(m) \forall [/mm] n,m [mm] \in \IN.
[/mm]
Zu a hab ich mir folgendes Gedacht: Es ist zu zeigen, dass die Mengen A und B mit [mm] A=\{m | a \le m \le b\} [/mm] und [mm] B=\{n | c \le n \le d\} [/mm] bijektiv aufeinander abgebildet werden können. Stimmt das? Und wie könnte ich das Zeigen?
Zu b hab ich mir dann diese Gedanken gemacht: [mm] \IN [/mm] und [mm] \IQ [/mm] sind ja nicht gleichmächtig. [mm] card(\IQ) \ge [/mm] card [mm] (\IN), [/mm] woraus fogt, dass nicht jedem Element aus [mm] \IQ [/mm] genau ein Element aus [mm] \IN [/mm] zugeordnet werden kann. Daraus würde folgen: [mm] \gamma [/mm] nicht surjektik [mm] \Rightarrow \gamma [/mm] nicht bijektiv.
Stimmt das auch wenigstens ein bißchen? Kann man es mathemtischer ausdrücken und kann ich einfach annehmen, dass [mm] card(\IQ) \ge [/mm] card [mm] (\IN)?
[/mm]
Viele liebe Grüße 
Kübi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Sa 26.11.2005 | | Autor: | andreas |
hallo.
> a) Zwei Intervalle [a,b] und [c,d] [mm]\subset \IR[/mm] sind stets
> gleichmächtig? (Ist auch (0,1) gleichmächtig wie [mm]\IR?).[/mm]
>
> b) Es gibt keine ordnungserhaltende Bijektion von [mm]\IN[/mm] nach
> [mm]\IQ,[/mm] d.h. keine Bijektion [mm]\gamma: \IN \to \IQ[/mm] mit n < m
> [mm]\Rightarrow \gamm(n)[/mm] < [mm]\gamma(m) \forall[/mm] n,m [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Zu a hab ich mir folgendes Gedacht: Es ist zu zeigen, dass
> die Mengen A und B mit [mm]A=\{m | a \le m \le b\}[/mm] und [mm]B=\{n | c \le n \le d\}[/mm]
> bijektiv aufeinander abgebildet werden können. Stimmt das?
ja das stimmt
> Und wie könnte ich das Zeigen?
überlege dir mal wie man zum beispiel das intervall $[0,1]$ bijektiv auf das intervall $[0,2]$ abbilden kann (denke dabei mal an eine geradengleichung [m] f: [0,1] \longrightarrow [0,2]; \; x \longmapsto mx + c [/m]. wie muss man $m$ und $c$ wählen, dass das ganze bijektiv ist - vielleicht sagt dir der begriff punktsteigungsform noch etwas oder mache dir mal eine skizze?) dieses konstrukt kann man auf die aufgabe erweitern, wenn man $a < b$ und $c < d$ vorraussetzt, sonst wären die intervalle nämlich ein punkt oder leer!
> Zu b hab ich mir dann diese Gedanken gemacht: [mm]\IN[/mm] und
> [mm]\IQ[/mm]
> sind ja nicht gleichmächtig.
das ist so nicht richtig, es gilt [m] \textrm{card}(\mathbb{N}) = \textrm{card}(\mathbb{Q}) [/m]. siehe zum beispiel ![[]](/images/popup.gif) hier oder hier. das sollte aber in jeder guten analysis vorlesung bewiesen werden.
> woraus fogt, dass nicht jedem Element aus [mm]\IQ[/mm] genau ein
> Element aus [mm]\IN[/mm] zugeordnet werden kann. Daraus würde
> folgen: [mm]\gamma[/mm] nicht surjektik [mm]\Rightarrow \gamma[/mm] nicht
> bijektiv.
mit dem ansatz kannst du deshalb nichts anfangen, da es eine bijektive abbildung zwischen den beiden mengen gibt, wie man den links entnimmt. du musst also noch irgendwie die zusätliche eigenschaft der ordnungserhaltung ausnuten. was muss den gelten, wenn du [mm] $\gamma(1)$ [/mm] und [mm] $\gamma(n)$ [/mm] für ein beliebiges $n [mm] \in \mathbb{N} \setminus \{ 1 \}$ [/mm] vergleichst. kann es denn so ein elemnet in [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] geben?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Sa 26.11.2005 | | Autor: | Kuebi |
Hallo Andreas!
Hoppla, wenn ich mein Skript so durchsehe, dann kommt da wirklich irgendwann ein Satz mit [mm] \IN [/mm] gleichmächtig [mm] \IQ! [/mm]
Danke mal!
Ich denk über deine Worte nach!
Lg, Andy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Sa 26.11.2005 | | Autor: | Kuebi |
Hallo!
Bzgl. a) kann ich mir jetzt ein Bild machen, wie eine Lösung aussehen könnte!
Aber zu b), hmmm.... [mm] \gamma(1) [/mm] ist ja bsp.weise. 1, und [mm] \gamma(2) [/mm] ja etwa 2, aber auf wen bilde ich dann die Elemente aus [mm] \IQ [/mm] ab, die zwischen 1 und 2 liegen?
Da steh ich aufm Schlauch!
Dankeschön!
Lg, Kübi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Sa 26.11.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> Bzgl. a) kann ich mir jetzt ein Bild machen, wie eine
> Lösung aussehen könnte!
gut. die bijektion kann man ja explizit angeben. wenn du den spezialfall verstanden hast, solltest du das auch allgemein hinkriegen.
> Aber zu b), hmmm.... [mm]\gamma(1)[/mm] ist ja bsp.weise. 1, und
> [mm]\gamma(2)[/mm] ja etwa 2, aber auf wen bilde ich dann die
> Elemente aus [mm]\IQ[/mm] ab, die zwischen 1 und 2 liegen?
ok. also nimm mal an, dass [mm] $\gamma(1) [/mm] = 1$. warum können dann bei einer ordnungserhaltenden abbildung zwischen [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] und [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] die elemente $q [mm] \in \mathbb{Q}$, [/mm] mit $q < 1$ nicht mehr als bilder auftreten? wenn du das noch allgemein formulieren kannst, bist du fertig.
grüße
andreas
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