Mächtigkeit von IR und IR^2 < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hat der [mm] \IR^2 [/mm] genauso viele Elemente wie [mm] \IR?
[/mm]
d.h. existiert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Mengen?
Wenn ja, nenne ein Beispiel.
Allgemeiner: existiert eine bijektive Abbildung zwischen [mm] \IR^m [/mm] und [mm] \IR^n [/mm] für m [mm] \not= [/mm] n?
Wie sieht eine solche gegebenen Falls aus? |
Also von meinem Grundgefühl, habe ich von Anfang an dazu tendiert, dass [mm] \IR [/mm] und [mm] \IR^2 [/mm] die selbe Kardinalität haben und dass [mm] card(\IR) [/mm] * [mm] card(\IR) [/mm] = [mm] card(\IR), [/mm] also der [mm] \IR^2 [/mm] nicht mehr Elemente besitzt und es sich bei der Anzahl seiner Elemente um die selbe Unendlichkeit wie bei der Menge der reellen Zahlen handelt.
Seit dem Versuche ich allerdings verzweifelt eine 1 zu 1 Abbildung zu finden.
Den [mm] \IR^2 [/mm] auf was endliches zweidimensionales zusamen zu ziehen, wie z.B. den Einheits Kreis, ist kein Problem. Aber wenn man eine ganze Dimension mehr oder weniger hat scheint es nicht mehr zu klappen.
Ich bin gespannt auf Eure Antworten, schon mal vielen Dank.
Robert
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Fr 30.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Teedrinker
Der [mm] R^2 [/mm] "besteht doch aus reellen Zahlenpaaren.z. Bsp in Dezimaldarstellung
kannst du nun aus einem sochen Paar eindeutig eine reelle Zahl herstellen? (und wieder rueckgaengig machen)? Wenn ja bist du fertig, und musst dich nur noch kurz mit den nicht eindeutigen, also periodischen Dezimalz. rumschlagen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Fr 30.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo leduart,
das ist ja ein klasse Tipp.
Bei der Idee, die ich dann sofort habe, gibt es aber kein Problem mit periodischen Dezimalbrüchen.
z.B. [mm] \bruch{1}{7} \mapsto \left(\bruch{125}{999}, \bruch{487}{999}\right)
[/mm]
(Ich hoffe, Du ersiehst, welche Idee das ist  )
Das lässt sich sogar wunderbar verallgemeinern.
Hach, schön.
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 03.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Reverend
Wie unterscheidest du :2.0000000... von 1.9999999...
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Di 03.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo leduart,
das ist einfach: gar nicht.
[mm] 2,\overline{0}=1,\overline{9}
[/mm]
edit: jetzt können wir das ja endlich diskutieren, wo eine Vorlage für die Zuordnung vorliegt, die genau dieses Problem hat. In meiner Reaktion auf die Vorlage nehme ich darauf Bezug.
Grüße,
reverend
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Vielen Dank für die Antwort, aber es tut mir leid: ich habe den Wink mit der Dezimaldarstellung reeller Zahlen nicht verstanden, falls das einer war. Ich hab überlegt wie ich es schaffe ein reelles Zahlenpaar eindeutig auf eine reelle Zahl abzubilden, aber durch die üblichen Operationen wie Addition, Multiplikation, Potenzieren oder das Einfügen irgendwelcher stetiger Funktionen wie sin oder e bekomme ich schon mal definitiv keine injektive Abbildung hin.
Wie bekomme ich es also hin ein reelles Zahlenpaar so auf eine reelle Zahl abzubilden, so dass es kein anderes Paar gibt, das auf dieselbe Zahl abgebildet wird?
Wenn es da wirklich einen Trick mit der Dezimaldarstellung gibt, kannst du mir vielleicht noch einen Hinweis geben?!
Das wäre nett.
Grüße
Robert
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Hallo Robert,
solche Zuordnungen sind oft ein bisschen trickreicher als die Standardoperationen und unter Umständen gar nicht so praktisch durch sie auszudrücken.
Nehmen wir mal zwei reelle Zahlen und betrachten nur ihre Nachkommastellen - also am besten gleich Zahlen zwischen 0 und 1:
[mm] a=\bruch{1}{37}=0,\overline{027}
[/mm]
[mm] b=0,2009^2=0,04036081
[/mm]
Nun forme aus den Ziffern dieser beiden Zahlen eine dritte Zahl, so dass die Operation einer klaren Regel folgt und wieder umkehrbar ist. Das ist der eigentliche Schritt.
Noch eine Hilfestellung dazu: schreib Dir die eine Zahl (nicht zu klein) auf einen roten Papierstreifen, die andere genauso groß auf einen grünen, und leg schonmal eine Schere bereit. Das geht natürlich auch virtuell...
Wenn Du dann eine Regel für die Nachkommastellen hast, kannst Du ja mal überlegen, wie es vor dem Komma aussehen müsste, und dann, wie es bei negativen Zahlen aussieht.
Schließlich sind a und b oben rationale Zahlen. Funktioniert Dein Bauprinzip auch für irrationale Zahlen?
Grüße,
reverend
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Gut, ich hab mir jetzt mal folgende Abb. überlegt:
f: (0,1) x (0,1) -----> (0,1)
dabei betrachte ich ein Paar (x,y) aus (0,1) x (0,1)
mit x = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a(i)*10^{-i} [/mm] = 0,a(1)a(2)a(3)...
und y = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}b(i)*10^{-i} [/mm] = 0,b(1)b(2)b(3)...
also die reellen Komponenten in ihrer Dezimaldarstellung.
Das bilde ich dann ab auf:
(x,y) [mm] \mapsto \summe_{i=1}^{\infty}[a(i)*10^{-(2i-1)}+b(i)*10^{-2i}] [/mm]
= 0,a(1)b(1)a(2)b(2)a(3)...
Die Funktion scheint mir bijektiv zu sein.
Anschließend muss ich nur noch (0,1) bijektiv auf ganz [mm] \IR [/mm] abbilden und das Einheitsquadrat auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] ausdehnen, was ja nie ein Problem für mich war.
Das Problem mit 2,0 = 1,999999999999..falls das überhaupt eins war, bekomme ich so gar nicht, oder?
Auf ähnliche Weise bekommt man ja auch bij. Abb. zwischen [mm] \IR [/mm] und [mm] \IR^m [/mm] hin und somit zwischen [mm] \IR^m [/mm] und [mm] \IR^n [/mm] für alle n,m
Darf ich damit zufrieden sein?
Wenn ja vielen Dank für die Denkanstöße
Robert
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Hallo Robert,
das sieht vom Ansatz her gut aus und wäre in der Tat verallgemeinerbar auf eine bijektive Zuordnung von [mm] \IR^m [/mm] und [mm] \IR^n.
[/mm]
Du kannst das System übrigens auch auf die Vorkommastellen ausweiten. Es gibt aber noch zwei Probleme zu lösen:
Eins, das Du (meine ich) noch nicht bedacht hast, ist die Vorzeichenfrage: wie bekommt man die Rückrichtung [mm] \IR\mapsto\IR^2 [/mm] hin?
Das andere: die Frage nach [mm] 2,\overline{0}=1,\overline{9} [/mm] ist doch "tricky", wenn mans recht bedenkt. Es soll ja der ganze [mm] \IR^2 [/mm] bijektiv auf [mm] \IR [/mm] abgebildet werden. [mm] \IR^2\mapsto\IR [/mm] hast Du ja aufgestellt.
Für [mm] \IR\mapsto\IR^2 [/mm] ergibt sich aber folgendes Problem, das leduart mit der Frage angedeutet hat:
[mm] 0,\overline{39} \mapsto (0,\overline{3}; 0,\overline{9})
[/mm]
Nun stellen wir noch fest: [mm] 0,\overline{9}=1 [/mm] und erhalten, in Brüchen folgendes Ergebnis:
[mm] \bruch{13}{33} \mapsto \left(\bruch{1}{3}, 1\right)
[/mm]
Damit sind wir allerdings in eine Falle gelaufen, denn:
[mm] \left(\bruch{1}{3}, 1\right)=(0,\overline{3}; 1)\mapsto 1,\overline{30}=\bruch{43}{33}
[/mm]
Durch die richtige Gleichsetzung [mm] 0,\overline{9}=1 [/mm] haben wir also zugleich [mm] \bruch{13}{33}=\bruch{43}{33} [/mm] gezeigt.
Das ist nicht so leicht zu reparieren...
Im Moment bin ich da ratlos und gehe mal weiter nachdenken.
Grüße,
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Di 03.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie waers mit nem Reim;
Ich Du, Ich Du
oder HIE und DA und HIE und DD
Oder Ene Mene Mu und raus bist DU.
Gruss leduart
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