Mächtigkeit/h.a. Mengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Philly |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also,
Sei E eine unendliche Menge und $A [mm] \subset [/mm] E$ eine h.a. (höchstens abzählbar) Teilmenge. Zeige, dass $E [mm] \sim E\backslash [/mm] A$ (E ist gleichmächtig zu [mm] E\backslash [/mm] A), falls [mm] $E\backslash [/mm] A$ unendlich ist.
Ich versuche jetzt nachzuweisen, dass gilt:
E ist mächtiger als [mm] E\backslash [/mm] A (klar) und [mm] E\backslash [/mm] A ist mächtiger E.
D.h. also es existiert eine Injektive Abbildung von [mm] E\backslash [/mm] A nach E und eine Injektive Abbildung von E nach [mm] E\backslash [/mm] A.
Ich weiß jetzt nicht wie ich den Zweiten Teil Nachweisen soll. Kann mir da jemand helfen.
Als Zusatzinformation kann ich noch folgende Sätze anbieten:
A h.a. [mm] $\gdw$ [/mm] A ist endlich oder [mm] A$\sim$$\IN$
[/mm]
und
A h.a. [mm] $\gdw$ $\exists f:\IN \to [/mm] A$, f surjektiv
Grüße
Philipp
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Hallo Phillipp,
Ich würd den Beweis indirekt führen:
1) E ist überabzählbar:
ist nun [mm] $E\backslash [/mm] A$ abzählbar, so gibt es eine surjektive Funktion [mm]f: \IN \rightarrow E\backslash A[/mm], da A ebenfalls abzählbar ist, gibt es aber auch eine surjektive Funktion [mm]g:\IN\rightarrow\ A[/mm].
Nun existiert aber eine Funktion h mit: [mm]h(n)=\begin{cases} f(n/2), & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ g((n+1)/2), & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm],
die offensichtlich eine surrjektive Abbildung von [mm] $\IN\rightarrow [/mm] E$ ist, womit E abzählbar wäre - Widerspruch.
2)E ist abzählbar:
In diesem trivialen Fall ist [mm] $E\backslash [/mm] A$, da nach Vorraussetzung unendlich, ebenfalls abzählbar, da eine Teilmenge niemals mächtiger sein kann als ihre Obermenge. Der vollständigkeit halber, kann man auch hier eine surrjektive Abbildung angeben. Es sei f eine surrjektive Abbildung $f: [mm] \IN\rightarrow [/mm] E$ und h definiere man beispielsweise wie folgt: es sei e ein belibiges Element in [mm] $E\backslash [/mm] A$ dann sei [mm]h(n)=\begin{cases} f(n), & \mbox{wenn } f(n)\in E \backslash A \\ e, & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
Gruß Samuel
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