Mächtigkeit < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Sa 17.09.2011 | | Autor: | dmdhl |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Laut dem Satz von Cantor ist die Potenzmenge von einer Menge, zB. auch von den natürlichen Zahlen immer echt mächtiger als die Menge selbst.
Die Zweifel, die ich hege begründe ich so:
Die Potenzmenge der natürlichen Zahlen können wieder nur die natürlichen Zahlen sein ... ich bin ein schlechter Mathematiker, kann das nicht beweisen. Wenn aber die Potenzmenge der natürlichen Zahlen, wieder nur die natürlichen Zahlen sind, dann sind die natürlichen Zahlen echt mächtiger als die natürlichen zahlen - was natürlich ein Widerspruch ist. Was aber erzeugt dann die Potenzmenge der natürlichen Zahlen, außer den natürlichen Zahlen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Sa 17.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ist kein Widerspruch, denn
[mm] P(\IN)=\{\emptyset,\{\IN\},\{1\},\{1;2\},\{1;2;3\}\ldots\{2;3\}\ldots\{8;11;102923\}\ldots,\{\IN/\{1\}\},\ldots,\{\IN/\{6\}\}, \ldots,\{\IN/\{1;5;109287374\}\},\ldots\} [/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Sa 17.09.2011 | | Autor: | dmdhl |
Danke für die schnelle Antwort.
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moin,
bei google findet man schnell, dass [mm] $P(\IN)$ [/mm] überabzählbar ist.
Das wird wohl auch so stimmen, allerdings habe ich mir (aus dem was bei Wiki zu Abzählbarkeit steht) einen Beweis gebastelt dafür, dass [mm] $P(\IN)$ [/mm] abzählbar ist.
Was also heißt, dass mein Beweis falsch sein muss, ich sehe nur nicht wo:
Ich benutze diese 6 Eigenschaften hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbarkeit#Eigenschaften
(Im Folgenden 1) bis 6) )
Zu aller erst lässt sich [mm] $P(\IN)$ [/mm] schreiben als:
[mm] $P(\IN) [/mm] = [mm] \bigcup_{n \in \IN_0} M_n$
[/mm]
Hierbei ist [mm] $M_n$ [/mm] die Menge aller Teilmengen von [mm] $\IN$, [/mm] die genau n Elemente enthalten.
Mit 3) und da [mm] $\IN_0$ [/mm] ja offensichtlich abzählbar ist muss einzig noch gezeigt werden, dass [mm] $M_n$ $\forall [/mm] n [mm] \in \IN_0$ [/mm] abzählbar ist.
Schreibt man die Mengen in [mm] $M_n$ [/mm] nicht als Mengen sondern als Tupel (was ja an der Mächtigkeit nichts ändert) so ist [mm] $M_n \subseteq \IN^n$.
[/mm]
Da [mm] $\IN^n$ [/mm] mit 4) für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] abzählbar ist, ist mit 1) auch [mm] $M_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] abzählbar [mm] ($M_0 [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] ist sowieso abzählbar).
Somit ist [mm] $P(\IN)$ [/mm] also eine Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen und müsste somit also selbst wieder abzählbar sein.
Wo ist der Fehler?^^
thx und MfG
Schadowmaster
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Sa 17.09.2011 | | Autor: | abakus |
> moin,
>
> bei google findet man schnell, dass [mm]P(\IN)[/mm] überabzählbar
> ist.
> Das wird wohl auch so stimmen, allerdings habe ich mir
> (aus dem was bei Wiki zu Abzählbarkeit steht) einen Beweis
> gebastelt dafür, dass [mm]P(\IN)[/mm] abzählbar ist.
> Was also heißt, dass mein Beweis falsch sein muss, ich
> sehe nur nicht wo:
>
> Ich benutze diese 6 Eigenschaften hier:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbarkeit#Eigenschaften
> (Im Folgenden 1) bis 6) )
>
> Zu aller erst lässt sich [mm]P(\IN)[/mm] schreiben als:
> [mm]P(\IN) = \bigcup_{n \in \IN_0} M_n[/mm]
> Hierbei ist [mm]M_n[/mm] die
> Menge aller Teilmengen von [mm]\IN[/mm], die genau n Elemente
> enthalten.
> Mit 3) und da [mm]\IN_0[/mm] ja offensichtlich abzählbar ist muss
> einzig noch gezeigt werden, dass [mm]M_n[/mm] [mm]\forall n \in \IN_0[/mm]
> abzählbar ist.
> Schreibt man die Mengen in [mm]M_n[/mm] nicht als Mengen sondern
> als Tupel (was ja an der Mächtigkeit nichts ändert) so
> ist [mm]M_n \subseteq \IN^n[/mm].
> Da [mm]\IN^n[/mm] mit 4) für alle [mm]n \in \IN[/mm]
> abzählbar ist, ist mit 1) auch [mm]M_n[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm]
> abzählbar ([mm]M_0 = \emptyset[/mm] ist sowieso abzählbar).
>
> Somit ist [mm]P(\IN)[/mm] also eine Vereinigung von abzählbar
> vielen abzählbaren Mengen und müsste somit also selbst
> wieder abzählbar sein.
>
> Wo ist der Fehler?^^
Hallo,
deine Vereinigung von Teilmengen mit 1, 2, 3, ... Elementen ist nicht die Potenzmenge von [mm] \IN.
[/mm]
Du vereinigst hier nur Mengen mit einer endlichen Anzahl von Elementen.
Wo ist z.B. in deiner Vereinigungs-Konstruktion die Menge aller Quadratzahlen???
Sie gehört nicht zu den Teilmenge mit 1 Element, nicht zu den Teilmengen mit 2 Elementen, nicht zu den Teilmengen mit 3 Elementen...
Gruß Abakus
>
>
> thx und MfG
>
> Schadowmaster
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