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| Aufgabe | | Bestimme die ersten sechs Terme der MacLaurin'schen-Reihe von tan(x) durch Betrachtung der definierenden Beziehung arctan(tan(x))=x. |
Hallo,
ich weiß, dass die MacLaurin Reige von arctan(x):
[mm] arctan(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}x^{2k+1} [/mm] ist.
Ich dachte mir nun, ich mache es so:
[mm] arctan(tan(x))=x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}(tan(x))^{2k+1},
[/mm]
also für x tan(x) eingesetzt.
Gut, wenn man nun die ersten Terme der Reihe hinschreibt, taucht da auch immer noch eine Potenz von tan(x) auf, d.h. ich kann tan(x) nicht isolieren und somit die Reihe von tan erhalten.
Ist die Aufgabe wohl ganz anders gemeint? Muss ich das also ganz anders angehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:05 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bestimme die ersten sechs Terme der MacLaurin'schen-Reihe
> von tan(x) durch Betrachtung der definierenden Beziehung
> arctan(tan(x))=x.
>
> ich weiß, dass die MacLaurin Reige von arctan(x):
> [mm]arctan(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}x^{2k+1}[/mm]
> ist.
Also [mm] $\arctan(x) [/mm] = x - [mm] \frac{1}{3} x^3 [/mm] + [mm] \frac{1}{5} x^5 [/mm] + ...$.
> Ich dachte mir nun, ich mache es so:
>
> [mm]arctan(tan(x))=x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}(tan(x))^{2k+1},[/mm]
> also für x tan(x) eingesetzt.
>
> Gut, wenn man nun die ersten Terme der Reihe hinschreibt,
> taucht da auch immer noch eine Potenz von tan(x) auf, d.h.
> ich kann tan(x) nicht isolieren und somit die Reihe von tan
> erhalten.
Schreib doch [mm] $\tan(x) [/mm] = [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_2 x^2 [/mm] + [mm] a_3 x^3 [/mm] + [mm] a_4 x^4 [/mm] + [mm] a_5 x^5 [/mm] + [mm] \dots$ [/mm] (da [mm] $\tan(0) [/mm] = 0$ ist!), und schreib dann mal [mm] $\tan(x)^2, \dots, \tan(x)^5$ [/mm] jeweils bis zum Term [mm] $x^5$ [/mm] hin.
Das kannst du jetzt in die obige Reihe von [mm] $\arctan(x)$ [/mm] einsetzen (bis zum 5. Exponent) und Koeffizientenvergleich machen.
LG Felix
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> Schreib doch [mm]\tan(x) = a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 + \dots[/mm]
> (da [mm]\tan(0) = 0[/mm] ist!), und schreib dann mal [mm]\tan(x)^2, \dots, \tan(x)^5[/mm]
> jeweils bis zum Term [mm]x^5[/mm] hin.
Meinst du damit [mm] tan^{2}x=(\sum_{i=0}^{5}a_{i}x^{i})^{2} [/mm] usw. bis [mm] tan^{5}x? [/mm] Wenn ich das alles ausmultiplizieren muss, wird mir mal spontan schlecht...
>
> Das kannst du jetzt in die obige Reihe von [mm]\arctan(x)[/mm]
> einsetzen (bis zum 5. Exponent) und Koeffizientenvergleich
> machen.
Und was soll ich dann wo genau einsetzen?
Mir ist das noch nicht so ganz klar...
>
> LG Felix
>
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Hallo T_sleeper,
> > Schreib doch [mm]\tan(x) = a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 + \dots[/mm]
> > (da [mm]\tan(0) = 0[/mm] ist!), und schreib dann mal [mm]\tan(x)^2, \dots, \tan(x)^5[/mm]
> > jeweils bis zum Term [mm]x^5[/mm] hin.
>
> Meinst du damit [mm]tan^{2}x=(\sum_{i=0}^{5}a_{i}x^{i})^{2}[/mm]
> usw. bis [mm]tan^{5}x?[/mm] Wenn ich das alles ausmultiplizieren
> muss, wird mir mal spontan schlecht...
>
Da musst Du durch.
> >
> > Das kannst du jetzt in die obige Reihe von [mm]\arctan(x)[/mm]
> > einsetzen (bis zum 5. Exponent) und Koeffizientenvergleich
> > machen.
>
> Und was soll ich dann wo genau einsetzen?
Wenn Du die Potenzreihen, d.h die Glieder bis [mm]x^{5}[/mm], für
[mm]\tan\left(x\right)^{n}, \ n=1 ... 5[/mm] bestimmt hast, setze dies hier ein:
[mm]x=\tan\left(x\right)-\bruch{1}{3}*\tan\left(x\right)^{3}+\bruch{1}{5}*\tan\left(x\right)^{5}[/mm]
Und vergleiche dann jede x-Potenz auf der linken Seite
mit der entsprechenden x-Potenz auf der rechten Seite.
> Mir ist das noch nicht so ganz klar...
>
> >
> > LG Felix
> >
>
Gruss
MathePower
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