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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Mi 09.12.2009 | | Autor: | bolzen |
| Aufgabe 1 | | Sei f(n) die Anzahl der nicht-isomorphen Gruppen der Ordnung n, die sich als direktes Produkt von Gruppen [mm] (\IZ,+) [/mm] für m [mm] \in \IN [/mm] schreiben lassen. Beweisen Sie, dass f eine multiplikative zahlentheoretische Funktion (mzF) ist. |
| Aufgabe 2 | | Berechnen Sie [mm] f(42^m) [/mm] für m=1,...,10 |
Die Definition von mzF ist:
i) f(1)=1
ii) f(m*n)=f(m)*f(n), falls m und n teilerfremd
i) Ist eigentlich klar, weil alle Gruppen der Ordnung 1 isomorph zueinander sind.
Außerdem lässt sich [mm] \IZ_{1} [/mm] schreiben als [mm] \IZ_{1}=\IZ_{1}*\IZ_{m}
[/mm]
zB m=3 :
[mm] \IZ_{1}*\IZ_{3}=\{0*0,0*1,0*2\}=\{0\}=\IZ_{1}.
[/mm]
ii) Ich dachte immer alle Gruppen gleicher Ordnung sind auch isomorph zueinander.
Denn bei gleich vielen Elementen kann ich doch immer eine bijektive Abbildung finden, die von der einen in die andere Gruppe abbildet.
Aber dann wäre immer f(x)=1. Also kann das nicht sein.
Nur wie berechne ich jetzt f(n) konkret?
Woher weiß ich welche Gruppen sich als direktes Produkt schreiben lassen und welche nicht?
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> Sei f(n) die Anzahl der nicht-isomorphen Gruppen der
> Ordnung n, die sich als direktes Produkt von Gruppen
> [mm](\IZ,+)[/mm] für m [mm]\in \IN[/mm] schreiben lassen. Beweisen Sie, dass
> f eine multiplikative zahlentheoretische Funktion (mzF)
> ist.
> Berechnen Sie [mm]f(42^m)[/mm] für m=1,...,10
> Die Definition von mzF ist:
> i) f(1)=1
> ii) f(m*n)=f(m)*f(n), falls m und n teilerfremd
>
> i) Ist eigentlich klar, weil alle Gruppen der Ordnung 1
> isomorph zueinander sind. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Außerdem lässt sich [mm]\IZ_{1}[/mm] schreiben als
> [mm]\IZ_{1}=\IZ_{1}*\IZ_{m}[/mm]
> zB m=3 :
> [mm]\IZ_{1}*\IZ_{3}=\{0*0,0*1,0*2\}=\{0\}=\IZ_{1}.[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> ii) Ich dachte immer alle Gruppen gleicher Ordnung sind
> auch isomorph zueinander.
> Denn bei gleich vielen Elementen kann ich doch immer eine
> bijektive Abbildung finden, die von der einen in die andere
> Gruppe abbildet.
Ein Gruppenisomorphismus ist keineswegs nur eine
bijektive Abbildung !
> Aber dann wäre immer f(x)=1. Also kann das nicht sein.
>
> Nur wie berechne ich jetzt f(n) konkret?
> Woher weiß ich welche Gruppen sich als direktes Produkt
> schreiben lassen und welche nicht?
Buon giorno Signor Bolzano,
natürlich gibt es nur eine Gruppe der Ordnung 1.
Größere Gruppen sind aber nicht immer isomorph,
wenn sie gleich viele Elemente haben. Zum Beispiel
gibt es zwei Gruppen der Ordnung 4, welche nicht
isomorph sind, nämlich [mm] \IZ_4 [/mm] und [mm] \IZ_2\times{\IZ_2} [/mm] .
Demzufolge ist f(4)=2.
Dies gilt aber dann noch, wenn die Gruppenordnung prim
ist. Für jede Primzahl p ist also f(p)=1.
Es empfiehlt sich nun, zunächst noch den Fall [mm] n=p^k
[/mm]
(p prim, [mm] k\in\IN) [/mm] zu betrachten, dann etwa [mm] n=p_1*p_2*p_3,
[/mm]
um schrittweise zum allgemeinen Fall überzugehen.
Beachte, dass hier mit f(n) keineswegs die Anzahl
aller möglichen Gruppen der Ordnung n gemeint
ist, sondern nur die Anzahl jener Gruppen der Ordnung
n, welche sich als direktes Produkt zyklischer Gruppen
darstellen lassen.
![[]](/images/popup.gif) Hier findest du eine Liste aller Gruppen bis zur
Ordnung n=16. Dort siehst du auch, welche davon
zyklische oder Produkte zyklischer Gruppen sind und
welche nicht.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Fr 11.12.2009 | | Autor: | bolzen |
Soweit schonmal Danke für die Hilfe. ABer so richtig kriege ich die Aufgabe noch nicht hin.
> Es empfiehlt sich nun, zunächst noch den Fall [mm]n=p^k[/mm]
Dann ist [mm] f(n)=\bruch{[n]}{2}+1 [/mm] und [] ist die Gaußklammer.
> dann etwa [mm]n=p_1*p_2*p_3,[/mm]
hat man hier i "einfache" Primfaktoren, dann ist f(n)=i+1
> um schrittweise zum allgemeinen Fall überzugehen.
und hier weiß ich jetzt nicht weiter. Wie kombinier ich jetzt meine Ergebnisse um auf den allgemeinen Fall zu kommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Sa 12.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Es empfiehlt sich nun, zunächst noch den Fall [mm]n=p^k[/mm]
>
> Dann ist [mm]f(n)=\bruch{[n]}{2}+1[/mm] und [] ist die
> Gaußklammer.
Das ist falsch.
Den Wert [mm] $f(p^k)$ [/mm] kannst du eh nicht explizit angeben (ohne die Partitionszahlen zu verwenden). Aber das brauchst du auch gar nicht.
Schau dir mal folgendes an. Seien $m$ und $n$ teilerfremde natuerliche Zahlen. Sei $M$ die Menge der Isomorphieklassen von Gruppen (die sich als Produkt von zyklischen Gruppen schreiben lassen) mit $m$ Elementen, und $N$ die Menge der Isomorphieklassen von solchen Gruppen der Ordnung $n$. Sei $K$ die Menge der Isomorphieklassen von Gruppen der Ordnung $m n$.
Du musst jetzt eine Bijektion $M [mm] \times [/mm] N [mm] \to [/mm] K$ angeben: wegen $f(n) = |N|$, $f(m) = |M|$, $f(n m) = |K|$ folgt dann $f(n m) = f(n) f(m)$.
Betrachte dazu die Abbildung [mm] $\Psi [/mm] : M [mm] \times [/mm] N [mm] \to [/mm] K$, $([G], [H]) [mm] \mapsto [/mm] [G [mm] \times [/mm] H]$, wobei $[G]$ die Isomorphieklasse der Gruppe $G$ sei. Zeige zuerst, dass dies wohldefiniert ist.
Der spannendere Teil der Aufgabe ist die Injektivitaet und die Surjektivitaet von [mm] $\Psi$. [/mm] Dazu gebe ich dir folgenden Tipp: Ist $G$ eine Gruppe der Ordnung $m n$ mit zwei teilerfremden Zahlen $m$ und $n$, so gilt mit [mm] $H_1 [/mm] := m G := [mm] \{ m g \mid g \in G \}$ [/mm] und [mm] $H_2 [/mm] := n G$, dass beides Untergruppen von $G$ sind mit [mm] $|H_1| [/mm] = n$, [mm] $|H_2| [/mm] = m$, und dass $G [mm] \to H_1 \times H_2$, [/mm] $g [mm] \mapsto [/mm] (m g, n g)$ ein Isomorphismus ist.
Damit kannst du sowohl Injektivitaet wie auch Surjektivitaet zeigen.
LG Felix
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