MWS anwenden bei Grenzwert < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Benutzen Sie den Mittelwertsatz für das Berechnen von
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] $ x² ( arcsin ( $ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $ ) - arcsin ( $ [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] $ ) ) |
Hallo!
So, bei dieser Aufgabe habe ich 2 Probleme:
1) Kann mir einer inhaltlich erklären, warum man den Mittelwertsatz bei der Grenzwertbetrachtung verwendet, also wenn man Differenzenquotient bildet, dann erhält man ja f'(c) und ich weiß nicht, wie man einem weiterhilft...
2) Ich weiß nicht, wie man den Mittelwertsatz hier anwendet. Ich habe mir überlegt, irgendwie den Term so umzuformen, sodass man den Differenzenquotienten erhält, doch ich kriege es nicht gebacken. Also die Funktion f ist ja arcsin(x) und die Ableitung in c davon ist ja [mm] 1/(\wurzel{1-c^2}).
[/mm]
Vielleicht sind die Grenzen a=(1/x) und b=(1/(x+1), aber wie hilft mir das weiter?
Ich habe gerade etwas über den Mittelwertsatz der Differenzialgleichung gelesen, doch dort wird ja auch nur der Differenzquotient gebildet.
Kann mir einer das genau erklären? Und besonders, wie ich das genau hier anwenden muss...
Ich bitte um Hilfe
Vielen Dank
TheBozz-mismo
PS: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Di 19.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Benutzen Sie den Mittelwertsatz für das Berechnen von
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x^2 ( \arcsin ( \bruch{1}{x} ) - \arcsin ( \bruch{1}{x+1}) ) [/mm]
> Hallo!
> So, bei dieser Aufgabe habe ich 2 Probleme:
> 1) Kann mir einer inhaltlich erklären, warum man den
> Mittelwertsatz bei der Grenzwertbetrachtung verwendet, also
> wenn man Differenzenquotient bildet, dann erhält man ja
> f'(c) und ich weiß nicht, wie man einem weiterhilft...
Wo steht denn hier ein Differenzenquotient? Der Nenner fehlt ja ganz.
> 2) Ich weiß nicht, wie man den Mittelwertsatz hier
> anwendet. Ich habe mir überlegt, irgendwie den Term so
> umzuformen, sodass man den Differenzenquotienten erhält,
> doch ich kriege es nicht gebacken. Also die Funktion f ist
> ja arcsin(x) und die Ableitung in c davon ist ja
> [mm]1/(\wurzel{1-c^2}).[/mm]
Naja, nicht ganz, da steht doch [mm] $\arcsin\bruch{1}{x}$. [/mm] Wende den Mittelwertsatz darauf an!
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Ok, wenn ich auf arcsin(1/x) den MWS anwende, dann bekomme ich
[mm] \bruch{arcsin(\bruch{1}{x})-arcsin(\bruch{1}{x+1})}{\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x+1}}
[/mm]
Wie ist das und was ist mit [mm] x^2? [/mm] Und ich verstehe immernoch nicht, wie mir das helfen soll bei der Grenzwertbetrachtung...
Kann mir das einer erklären?
Vielen Dank
TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Di 19.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok, wenn ich auf arcsin(1/x) den MWS anwende, dann bekomme
> ich
>
> [mm]\bruch{\arcsin(\bruch{1}{x})-\arcsin(\bruch{1}{x+1})}{\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x+1}}[/mm]
Das ist nicht richtig. Du hast wieder [mm] $\arcsin [/mm] x$ genommen, nicht [mm] $\arcsin\bruch{1}{x}$. [/mm] Der Nenner muss $x-(x+1)$ sein.
Da [mm] \bruch{d}{dx}\arcsin\bruch{1}{x} = - \bruch{1}{x^2\sqrt{1-1/x^2}}[/mm] sagt dann der MWS, dass es ein [mm] $\xi\in [/mm] (x,x+1)$ gibt mit
[mm] -\ \bruch{1}{\xi^2\sqrt{1-1/\xi^2}} = -(\arcsin\bruch{1}{x} - \arcsin\bruch{1}{x+1}) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
So, erstmal vielen lieben Dank für die Hilfe.
Ich hab jetzt meinen Fehler verstanden.
Deine Umformungen hab ich verstanden und jetzt weiß ich, dass es ein [mm] \xi [/mm] geben muss in diesem Intervall.
Also kann ich jetzt zum Beispiel ein [mm] \xi [/mm] aus diesem Intervall wählen, zum Beispiel [mm] \xi=\bruch{1}{x+0.5} [/mm] und dann davon den Grenzwert betrachten?
Wenn nicht, was muss ich sonst machen
Ich bitte um Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Di 19.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> So, erstmal vielen lieben Dank für die Hilfe.
> Ich hab jetzt meinen Fehler verstanden.
> Deine Umformungen hab ich verstanden und jetzt weiß ich,
> dass es ein [mm]\xi[/mm] geben muss in diesem Intervall.
> Also kann ich jetzt zum Beispiel ein [mm]\xi[/mm] aus diesem
> Intervall wählen, zum Beispiel [mm]\xi=\bruch{1}{x+0.5}[/mm] und
> dann davon den Grenzwert betrachten?
Nein, du kannst keinen festen Wert nehmen, denn der Mittelwertsatz sagt dir nur, dass es einen solchen Wert gibt, nicht wie er aussieht. Aber, was du tun kannst, ist einen Ansatz der Form
[mm] \xi = x +\varepsilon(x) [/mm]
machen, wobei [mm] $0<\varepsilon(x)<1$ [/mm] für alle x ist. Das reicht, um den Grenzwert auszurechnen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Hallo!
Erstmal logisch. Ist ja klar, dass man nicht einfach einen Wert wählen kann, da mann ihn nicht genau kennt(Hätt ich mir auch denken können)
Ok, deine Wahl des [mm] \xi [/mm] ist ja auch logisch.
Also, du sagst, jetzt kann man den Grenzwert berechnen
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{\xi^2\sqrt{1-1/\xi^2}}
[/mm]
Ok, dann kann man sagen, dass [mm] \xi^2 [/mm] gegen Unendlich ist.
Kann man dass dann so schreiben:
[mm] \bruch{1}{\infty\sqrt{1-1/\infty}} [/mm] und dann kann man sagen, irgendwas mal unendlich ist unendlich und 1 durch unendlich ergibt unendlich.
Ist das richtgig so? Und die Begründung?
Vielen Dank
Gruß
TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Di 19.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!
> Erstmal logisch. Ist ja klar, dass man nicht einfach einen
> Wert wählen kann, da mann ihn nicht genau kennt(Hätt ich
> mir auch denken können)
> Ok, deine Wahl des [mm]\xi[/mm] ist ja auch logisch.
> Also, du sagst, jetzt kann man den Grenzwert berechnen
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{\xi^2\sqrt{1-1/\xi^2}}[/mm]
Nein, du hast den Faktor [mm] $x^2$ [/mm] vergessen. Dein Grenzwert ist
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x^2}{\xi^2\sqrt{1-1/\xi^2}} = \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{\xi^2/x^2\sqrt{1-1/\xi^2}}[/mm]
> Ok, dann kann man sagen, dass [mm]\xi^2[/mm] gegen Unendlich ist.
> Kann man dass dann so schreiben:
> [mm]\bruch{1}{\infty\sqrt{1-1/\infty}}[/mm]
Nein.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Ok, ich habe [mm] x^2 [/mm] vergessen, aber dann geht ja [mm] {\xi^2/x^2} [/mm] gegen 0 + [mm] \xi. [/mm]
Kann man sagen, dass [mm] \xi^2 [/mm] gegen unendlich geht?
Irgendwie komm ich auf keinen grünen Pfad!
Gruß
TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Di 19.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok, ich habe [mm]x^2[/mm] vergessen, aber dann geht ja [mm]{\xi^2/x^2}[/mm] gegen 0 + [mm]\xi.[/mm]
Nein, da musst du nochmal nachdenken: [mm] $\xi=x+\varepsilon$, [/mm] also [mm] ${\xi^2/x^2}\to [/mm] 1$.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Ok, ich versuchs nochmal:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{\xi^2/x^2\sqrt{1-1/\xi^2}}
[/mm]
[mm] {\xi^2/x^2}\to [/mm] 1
[mm] 1/\xi^2 \to [/mm] 0
Daraus folgt:
[mm] =>\bruch{1}{1*\wurzel{1-0}} [/mm] = 1
Ist das richtig so?
Und kannst mir einer noch erklären, warum man jetzt einfach die Ableitung betrachten kann, daraus würde man ja ableiten, dass f(x)=f'(x), oder? Und kann ich die Ableitung immer bei Grenzwerten betrachten?
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
Sind meine Rechnungen nun richtig? Und ist auch alles richtig aufgeschrieben
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{\xi^2/x^2\sqrt{1-1/\xi^2}} [/mm] $
$ [mm] {\xi^2/x^2}\to [/mm] $ 1
$ [mm] 1/\xi^2 \to [/mm] $ 0
Daraus folgt:
$ [mm] =>\bruch{1}{1\cdot{}\wurzel{1-0}} [/mm] $ = 1
Und wieso man bei der Grenzwertbetrachtung einfach den Differenzenquotientent nehmen kann betrachten, das macht man doch hier. Vielleicht kann mir auch einer erklären, warum man dies tun kann. Ich meine, man nimmt ja im Prinzip die 1. ABleitung, nur ohne Limes.
Kann man den Mittelwertsatz noch anders anwenden? Bestimmt, aber habt ihr noch Ideen, wo man ihn genau noch benutzen kann.
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 22.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Mi 20.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok, ich versuchs nochmal:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{\xi^2/x^2\sqrt{1-1/\xi^2}}[/mm]
> [mm]{\xi^2/x^2}\to[/mm] 1
> [mm]1/\xi^2 \to[/mm] 0
> Daraus folgt:
> [mm]=>\bruch{1}{1*\wurzel{1-0}}[/mm] = 1
>
> Ist das richtig so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und kannst mir einer noch erklären, warum man jetzt
> einfach die Ableitung betrachten kann, daraus würde man ja
> ableiten, dass f(x)=f'(x), oder? Und kann ich die Ableitung
> immer bei Grenzwerten betrachten?
Ich verstehe deine Frage nicht. Der MWS sagt dir, dass es eine Stelle gibt, wo die Tangente an die Funktion die gleiche Steigung hat wie die Sekante durch die Eckpunkte. Was meinst du mit deiner Frage?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
