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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:50 Mi 12.01.2011 | | Autor: | LuisA44 |
| Aufgabe | Seien [mm] X_1,..., X_n [/mm] unabhängig und identisch verteilt mit Dichte
[mm] f_\nu(x)=\nu*x^{-2}1_{\nu,\infty}(x), \nu>0
[/mm]
Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm] \nu. [/mm] |
Hallo Forum,
versuche diese Aufgabe zu lösen, komme aber nicht so richtig weiter.
[mm] f_\nu(x)=\nu *x^{-2}1_{\nu,\infty}(x), \nu>0
[/mm]
Also zunächst einmal:
[mm] L(\nu)=\produkt_{i=1}^{n}\nu*{x_i}^{-2}1_{\nu,\infty}(x_i)
[/mm]
[mm] =\nu^n*\produkt_{i=1}^{n}{x_i}^{-2}\produkt_{i=1}^{n}1_{\nu,\infty}(x_i)
[/mm]
hier weiß ich nicht so recht, was ich mit der Indikatorfunktion anstellen soll. Ich kann mir nicht vorstellen, was da vor sich geht. Weglassen kann man das doch nicht einfach, weil ja das [mm] \nu [/mm] mit drin steckt. Außerdem muss das ja im nächsten Schritt abgeleitet werden nur weiß ich leider nicht wie sowas aussieht![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
für den ersten Teil wäre
[mm] =\nu^n*\bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}{x_i}^2}
[/mm]
Über jede Hilfe bin sehr dankbar 
Liebe Grüße
LuisA44
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Mi 12.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin Luisa,
zeichne mal die Likelihoodfunktion fuer die Werte [mm] $x_1=1.3$ [/mm] und [mm] $x_2=0.7$. [/mm] Was faellt dir auf?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mi 12.01.2011 | | Autor: | LuisA44 |
Hi Luis,
danke für deine Antwort.
Wahrscheinlich eine ziemlich blöde Frage, die ich mich aber schon oft gefragt habe: Wie zeichnet man die Likelihoodfunktion ein?
DIe Likelihoodfunktion heißt ja:
[mm] L(\nu)= \produkt_{i=1}^{n}\nu {x_i}^{-2}1_{(\nu,\infty)}(x_i)
[/mm]
> zeichne mal die Likelihoodfunktion fuer die Werte [mm]x_1=1.3[/mm]
> und [mm]x_2=0.7[/mm]. Was faellt dir auf?
Setze ich dann [mm] x_i=1,3 [/mm] bzw. 0,7? Wie gibt man denn sowas zum Beispiel bei Wolframalpha ein? Oder ist es viel einfacher und ich bin hier aufm Holzweg *hehe*
Liebe Grüße
LuisA44
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Mi 12.01.2011 | | Autor: | luis52 |
> Hi Luis,
> danke für deine Antwort.
> Wahrscheinlich eine ziemlich blöde Frage, die ich mich
> aber schon oft gefragt habe: Wie zeichnet man die
> Likelihoodfunktion ein?
>
> DIe Likelihoodfunktion heißt ja:
> [mm]L(\nu)= \produkt_{i=1}^{n}\nu {x_i}^{-2}1_{(\nu,\infty)}(x_i)[/mm]
>
>
> > zeichne mal die Likelihoodfunktion fuer die Werte [mm]x_1=1.3[/mm]
> > und [mm]x_2=0.7[/mm]. Was faellt dir auf?
>
> Setze ich dann [mm]x_i=1,3[/mm] bzw. 0,7?
Jawohl. Und $n=2_$...
> Wie gibt man denn sowas
> zum Beispiel bei Wolframalpha ein? Oder ist es viel
> einfacher und ich bin hier aufm Holzweg *hehe*
Ist es.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mi 12.01.2011 | | Autor: | LuisA44 |
Hi Luis,
> > > zeichne mal die Likelihoodfunktion fuer die Werte [mm]x_1=1.3[/mm]
> > > und [mm]x_2=0.7[/mm]. Was faellt dir auf?
> >
> > Setze ich dann [mm]x_i=1,3[/mm] bzw. 0,7?
>
> Jawohl. Und [mm]n=2_[/mm]...
Nunja ok dann ist ja:
[mm] \produkt_{i=1}^{2}\nu{x_i}^{-2}=\nu^2*1,3^{-2}*0,7^{-2}
[/mm]
hmm ja und das ist eine Parabel. Die hat also gar kein Maximum. Aber wie spielt denn jetzt die Indikatorfunktion da mit rein??
Danke für deine Hilfe.
LuisA44
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Mi 12.01.2011 | | Autor: | luis52 |
> Nunja ok dann ist ja:
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{2}\nu{x_i}^{-2}=\nu^2*1,3^{-2}*0,7^{-2}[/mm]
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] $\nu^21.3^{-2}0.7^{-2}\red{1_{(\nu,\infty)}(1.7)1_{(\nu,\infty)}(0.7)}$
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mi 12.01.2011 | | Autor: | LuisA44 |
hi Luis,
> [mm]\nu^21.3^{-2}0.7^{-2}\red{1_{(\nu,\infty)}(1.7)1_{(\nu,\infty)}(0.7)}[/mm]
ja klar.
[mm] \nu^2*1,3^{-2}1_{(\nu,\infty)}(1,3)0,7^{-2}1_{(\nu,\infty)}(0,7)
[/mm]
ok ich hoffe ich fabriziere nicht schonwieder Unfug, aber ich komm einfach immernoch nicht mit der Indikatorfunktion klar...:( die bringt mich immer ausm Konzept
kann es nicht auch x geben, die kleiner als [mm] \nu [/mm] sind, sd die Indikatorfunktion Null wird??
(oh man einbisel Angst hab ich ja schon vor der Antwort)
Wie kann ich das denn jetzt dann ebei wolfram eingeben? kann man sich sowas überhaupt da einzeichnen lassen?
LuisA44
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mi 12.01.2011 | | Autor: | luis52 |
>
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> ja klar.
> [mm]\nu^2*1,3^{-2}1_{(\nu,\infty)}(1,3)0,7^{-2}1_{(\nu,\infty)}(0,7)[/mm]
>
> ok ich hoffe ich fabriziere nicht schonwieder Unfug, aber
> ich komm einfach immernoch nicht mit der Indikatorfunktion
> klar...:( die bringt mich immer ausm Konzept
Bin ja da. 
>
> kann es nicht auch x geben, die kleiner als [mm]\nu[/mm] sind, sd
> die Indikatorfunktion Null wird??
Solche x-Werte mag es geben, aber nicht in unserer Stichprobe. Wir gehen von *diesen* x-Werten aus: 0.7 und 1.3, also Daten im wahrsten Sinne des Wortes.
> (oh man einbisel Angst hab ich ja schon vor der Antwort)
![[kuss]](/images/smileys/kuss.gif "[kuss]")
>
> Wie kann ich das denn jetzt dann ebei wolfram eingeben?
Warum benutzt du nicht einfach Papier und Bleistift? Fang bei [mm] $\nu=0.1$ [/mm] an, dann vielleicht [mm] $\nu=1$ [/mm] ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mi 12.01.2011 | | Autor: | LuisA44 |
> Warum benutzt du nicht einfach Papier und Bleistift? Fang
> bei [mm]\nu=0.1[/mm] an, dann vielleicht [mm]\nu=1[/mm] ...
ja stimmt das gibts ja auch noch. Naja, da die Indikatorfunktion Eins ist handelt es sich in diesem Fall um eine Parabel. Also hat doch die Likelihood-funktion kein Maximum für [mm] x_1=1,3 [/mm] und [mm] x_2=0,7 [/mm] und n=2, oder ist/war das falsch? Naja für gerade n ist es dann eine Parabel und für ungerade gibts bei 0 nen Sattelpunkt...Aber was sagt mir das jetzt weiter aus?
Rein rechnerisch würde man ja die Likelihood bzw die Loglikelihoodfunktion ableiten,aber wie würde man denn (aus reinem Interesse) den Ausdruck log [mm] \produkt_{i=1}^{n} 1_{\nu,\infty)}(x) [/mm] nach [mm] \nu [/mm] ableiten? Oder fällt das dann einfach weg, weil die Indikatorfunktion eine Konstante ist?
Liebe Grüße
LuisA44
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Mi 12.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Mach doch mal eine Wertetabelle. Ich beispielsweise erhalte fuer [mm] $\nu=0.1,1.0,1.5,2.0$: $L(\nu)=0.01207584, \red{0.0000000}, \red{0.0000000}, \red{0.0000000}$ [/mm] ...
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 12.01.2011 | | Autor: | gfm |
> Seien [mm]X_1,..., X_n[/mm] unabhängig und identisch verteilt mit
> Dichte
> [mm]f_\nu(x)=\nu*x^{-2}1_{\nu,\infty}(x), \nu>0[/mm]
>
> Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm]\nu.[/mm]
> Hallo Forum,
> versuche diese Aufgabe zu lösen, komme aber nicht so
> richtig weiter.
>
> [mm]f_\nu(x)=\nu *x^{-2}1_{\nu,\infty}(x), \nu>0[/mm]
>
> Also zunächst einmal:
>
> [mm]L(\nu)=\produkt_{i=1}^{n}\nu*{x_i}^{-2}1_{\nu,\infty}(x_i)[/mm]
>
> [mm]=\nu^n*\produkt_{i=1}^{n}{x_i}^{-2}\produkt_{i=1}^{n}1_{\nu,\infty}(x_i)[/mm]
>
> hier weiß ich nicht so recht, was ich mit der
> Indikatorfunktion anstellen soll. Ich kann mir nicht
> vorstellen, was da vor sich geht. Weglassen kann man das
> doch nicht einfach, weil ja das [mm]\nu[/mm] mit drin steckt.
> Außerdem muss das ja im nächsten Schritt abgeleitet
> werden nur weiß ich leider nicht wie sowas
> aussieht
> für den ersten Teil wäre
> [mm]=\nu^n*\bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}{x_i}^2}[/mm]
>
> Über jede Hilfe bin sehr dankbar
> Liebe Grüße
> LuisA44
>
>
Sei [mm] x:=(x_1,...,x_n) [/mm] und [mm] I_n(\nu):=(\nu,\infty)^n. [/mm] Dann kann man abkürzend schreiben [mm] \produkt_{i=1}^n 1_{(\nu,\infty)}(x_i)=1_{I_n(\nu)}(x). [/mm] Die Indikatorfunktion "schaut" also nach ob alle [mm] x_i [/mm] im Intervall [mm] (\nu,\infty) [/mm] sind, bzw. ob das n-Tupel x im n-fachen kartesischen Produkt [mm] I_n(\nu) [/mm] der [mm] (\nu,\infty) [/mm] liegt. Sobald ein [mm] x_i\le\nu [/mm] ist, liefert die Indikatorfunktion null und die Likelihoodfunktion verschwindet.
Kürzt man weiter ab mit [mm] P^2_x:=\produkt_{i=1}^n x_i^2 [/mm] so kann man kompakt schreiben
[mm] L_n(\nu|x):=\frac{\nu^n}{P^2_x}1_{I_n(\nu)}(x)
[/mm]
Nun muss man [mm] \nu [/mm] so wählen, dass [mm] L_n(\nu|x) [/mm] maximal wird. Wählt man [mm] \nu [/mm] zu groß, d.h. nicht kleiner als alle [mm] x_i, [/mm] dann erhalten wir null. Ist man mit [mm] \nu [/mm] kleiner als alle [mm] x_i [/mm] erhalten wir [mm] \nu^n. [/mm] Dann aber führt ein maximaler Wert zu einem Maximum.
Leider ist die Indikatorfunktion mit einem offenen [mm] (\nu,\infty) [/mm] gegeben, sodaß ein Maximum nicht angenommen wird. Es müßte "unmittelbar links" von [mm] \min\{x_1,...,x_n\} [/mm] liegen. Ginge man aber von [mm] [\nu,\infty) [/mm] aus, dann wäre das Minimum der [mm] x_i [/mm] der Schätzer, denn es sichert, dass die Indikatorfunktion nicht verschwindet und liefert für [mm] \nu^n [/mm] den maximalen Wert.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Fr 14.01.2011 | | Autor: | LuisA44 |
Hallo Luis, hallo gmf,
danke rstmal für eure Beiträge.
Also das was Luis versucht hat mir zu erklären (![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ) ist, dass die Likelihoodfunktion irgendwann null wird für [mm] x_i<\nu [/mm] - also hier bei 2,0 für [mm] x_1=0,7 [/mm] und [mm] x_2=1.3 [/mm] Die Funktion müsste also am Rand irgenwo ein Maximum haben, was jedoch auch nicht existiert, da das Intervall [mm] (\nu,\infty) [/mm] offen ist. Also existiert kein Maximum-Likelihood-Schätzer.
Hab ich das nu richtig verstanden?
Liebe Grüße
LuisA44
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Fr 14.01.2011 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis, hallo gmf,
> danke rstmal für eure Beiträge.
>
> Also das was Luis versucht hat mir zu erklären
> () ist, dass die Likelihoodfunktion
> irgendwann null wird für [mm]x_i<\nu[/mm] - also hier bei 2,0 für
> [mm]x_1=0,7[/mm] und [mm]x_2=1.3[/mm] Die Funktion müsste also am Rand
> irgenwo ein Maximum haben, was jedoch auch nicht existiert,
> da das Intervall [mm](\nu,\infty)[/mm] offen ist. Also existiert
> kein Maximum-Likelihood-Schätzer.
So gesehen hast du recht, aber fuer praktische Zwecke kannst du das Modell auch mit $ [mm] f_\nu(x)=\nu\cdot{}x^{-2}1_{[\nu,\infty)}(x), \nu>0 [/mm] $ ansetzen (geht nicht aus der Aufgabenstellung hervor). Der ML- Schaetzer ist also [mm] $\hat\nu=\max\{X_1,\dots,X_n\}$, [/mm] der in dem kleinen Beispiel den Wert 1.3 annimmt.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Fr 14.01.2011 | | Autor: | gfm |
> ML- Schaetzer ist also [mm]\hat\nu=\max\{X_1,\dots,X_n\}[/mm], der
> in dem kleinen Beispiel den Wert 1.3 annimmt.
Nicht [mm]\hat\nu=\min\{X_1,\dots,X_n\}[/mm]?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Fr 14.01.2011 | | Autor: | luis52 |
> > ML- Schaetzer ist also [mm]\hat\nu=\max\{X_1,\dots,X_n\}[/mm], der
> > in dem kleinen Beispiel den Wert 1.3 annimmt.
>
> Nicht [mm]\hat\nu=\min\{X_1,\dots,X_n\}[/mm]?
Natuerlich, du hast recht, bin selber schon ganz wirr. ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]")
Habe dem entsprechend auch meine "Musterrechnungen" oben korrigiert.
Danke.
vg Luis
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