ML-Schätzer < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Mi 11.01.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Seien [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] unabhängig und identisch [mm] $\operatorname{Geo}(p)$ [/mm] verteilte Zufallsvariablen. Bestimme den Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter $p$.
Hinweis: Dichte der geometrischen Verteilung: [mm] $P(X=k)=p\cdot (1-p)^k$ [/mm] |
Hallo,
also ich hab wohl irgendwo einen Rechenfehler, sehe aber nicht wo.
Also zuerst habe ich die Likelihood-Fkt. aufgestellt:
[mm] $L(x_1,...,x_n|p)=P_p(X_1=x_1)\cdot [/mm] ... [mm] \cdot P_p(X_n=x_n)=p^n\cdot (1-p)^{\sum_{i=1}^{n}x_i}$
[/mm]
Dann ist die log-Likelihood:
[mm] $\log L(x_1,...,x_n|p)=\log\left(p^n\right)+\log\left((1-p)^{\sum_{i=1}^{n}x_i}\right)=n\cdot\log(p)+\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot\log((1-p))$
[/mm]
Wenn ich nach $p$ ableite, erhalte ich:
[mm] $\frac{\partial}{\partial p}\log L(x_1,...,x_n|p)=\frac{n}{p}+\sum_{i=1}^n x_i\cdot\frac{1}{p-1}$
[/mm]
Nullstelle hiervon ist [mm] $p=\frac{n}{\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)+n}$.
[/mm]
Das $+n$ im Nenner stört, denn ich habe gelesen, daß der ML-Schätzer [mm] $\overline{X}^{-1}$ [/mm] ist...
Wer kann mir vllt. sagen, wo mein Fehler ist?
Viele Grüße
mikexx
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Mi 11.01.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich habe gerade gesehen, daß es zwei mögliche Parametrisierungen der geometrischen Verteilung gibt.
Es ist - wenn ich's korrekt verstanden habe - so, daß der ML-Schätzer für die Parametrisierung, die ich nehmen soll, [mm] [b]nicht[/b]$\overline{X}^{-1}$ [/mm] ist, sondern daß mein Ergebnis okay ist.
Anders geschrieben lautet mein Ergebnis, daß
[mm] $\left(1+\overline{X}\right)^{-1}$ [/mm] der gesuchte ML-Schätzer für $p$ ist.
Korrekt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mi 11.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
wie du schon selber gemerkt hast, gibt es zwei Formen der geom. Verteilung. Bei der einen beschreibt die ZV die Anzahl der Versuche insgesamt, die andere die Anzahl der Fehlversuche bevor der erste Treffer eintritt. Im ersten Fall realisieren sich die Werte [mm] 1,2,3,\dots, [/mm] im zweiten die Werte [mm] 0,1,2,\dots [/mm] "Dein" ML-Schaetzer ist fuer den zweiten Fall zustaendig, [mm] $1/\bar [/mm] X$ fuer den ersten. (Was auch vernuenftig ist.)
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Mi 11.01.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich freue mich, daß ich's richtig gemacht habe.
Vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
|
|
|
|
