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Kann mir einer kurz erklären, was der Rang einer Matrix ist.
Ich weiß, dass rg(f) = dim(im(f)) , aber leider versteh ich es nicht.
Am Besten an einm konkreten Beispiel.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 6 & -3 & -3 \\ 3 & 10 & -5 & -6 }
[/mm]
Es wäre nett, wenn ihre die einzelnen Schritte ein wenig kommentieren würdet. Danke und noch ein schönes Wochenende.
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 So 04.12.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
Statt deiner Definition, kannst du auch die Anzahl linearer unabhängiger Spalten der Matrix betrachten. Die Anzahl gibt dann den Rang an!
Nur zur Erläuterung:
Wenn du nämlich das Gleichungssystem A*x=b betrachtest und x sei ein beliebiger Vektor aus dem Vektorraum, so erhältst du ja jedesmal ein zugehöriges b. Die Spalten von A spannen also einen Raum auf, der mit den möglichen Vektoren b übereinstimmt. Also reicht es statt der Dimension des Bildes von A, die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren von A zu betrachten.
Weiterhin gilt:
Zeilenrang = Spaltenrang, d.h. du kannst auch die Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren untersuchen. Dann erhältst du auch den Rang!
Dieser Argumentation zufolge müsste der Rang deiner Matrix gleich 3 sein, denn die Zeilen deiner Matrix sind linear unabhängig.
Man stelle ein Gleichungssystem auf, um das zu überprüfen:
Seien [mm] z_1, z_2, z_3 [/mm] die Zeilen deiner Matrix. Man betrachte
[mm] a*z_1 [/mm] + [mm] b*z_2 [/mm] + = [mm] z_3
[/mm]
Betrachtet man die erste Komponente der Zeilenvekoren, so stellt man fest, dass [mm] z_1 [/mm] + [mm] z_2 [/mm] = [mm] z_3 [/mm] sein müsste, da 1 + 2 = 3. Bei den folgenden Komponenten stimmt, das schon nicht mehr. Somit sind die Vektoren lin. unabhängig. Da es 3 Vektoren sind ist der Rang gleich 3!
Ich hoffe das war jetzt verständlich und ausführlich genug!
mfg,
Pollux
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