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Forum "Uni-Stochastik" - MC: bedingte W'keit
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MC: bedingte W'keit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:58 Di 16.06.2009
Autor: NightmareVirus

Aufgabe
Gegeben:
[mm] (\Omega, [/mm] A, P ) Wahrscheinlichkeitsraum, Mengen A,B,C [mm] \in [/mm] A
mit P(B [mm] \cap [/mm] C) > 0  sowie P(B) < 1.

Welche der folgenden Aussagen sind i.A. falsch?
(1) P(A | [mm] B^c) [/mm] + P(A | B)  = 1
(2) P(A [mm] \cap [/mm] B | C) = P(A | B [mm] \cap [/mm] C)P(B | C)
(3) P(A | B) [mm] \Rightarrow [/mm] P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A)P(B)
(4) P(C) = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] P(B | C) = P(B)
(5) P(C) = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] P(A | B [mm] \cap [/mm] C) = P(A | B)

Ich konnte anhand von Gegenbeispielen zeigen, dass die Aussagen (1) & (3) falsch sind. Ebenso ist es mir gelungen zu beweisen das (2) wahr ist.

Bei den Aussagen (4) & (5) würde ich eigentlich ebenfalls dazu tendieren dass die Aussagen wahr sind. Jedoch befürchte ich irgendwie, dass ich vielleicht doch noch was übersehen habe, weil mir die Überlegungen doch ein wenig sehr einfach erscheinen ;)

zu (4)  P(B | C) = [mm] \bruch{P(B \cap C)}{P(C)} [/mm]
= [mm] \bruch{P(B)}{1} [/mm] = P(B)

zu (5) P(A | B [mm] \cap [/mm] C) = P(A | B)  wegen P(C) = 1 trivial?!?

        
Bezug
MC: bedingte W'keit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Di 16.06.2009
Autor: abakus


> Gegeben:
>  [mm](\Omega,[/mm] A, P ) Wahrscheinlichkeitsraum, Mengen A,B,C [mm]\in[/mm]
> A
>  mit P(B [mm]\cap[/mm] C) > 0  sowie P(B) < 1.

>  
> Welche der folgenden Aussagen sind i.A. falsch?
>  (1) P(A | [mm]B^c)[/mm] + P(A | B)  = 1
>  (2) P(A [mm]\cap[/mm] B | C) = P(A | B [mm]\cap[/mm] C)P(B | C)
>  (3) P(A | B) [mm]\Rightarrow[/mm] P(A [mm]\cap[/mm] B) = P(A)P(B)
>  (4) P(C) = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] P(B | C) = P(B)
>  (5) P(C) = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] P(A | B [mm]\cap[/mm] C) = P(A | B)
>  Ich konnte anhand von Gegenbeispielen zeigen, dass die
> Aussagen (1) & (3) falsch sind. Ebenso ist es mir gelungen
> zu beweisen das (2) wahr ist.
>  
> Bei den Aussagen (4) & (5) würde ich eigentlich ebenfalls
> dazu tendieren dass die Aussagen wahr sind. Jedoch
> befürchte ich irgendwie, dass ich vielleicht doch noch was
> übersehen habe, weil mir die Überlegungen doch ein wenig
> sehr einfach erscheinen ;)
>  
> zu (4)  P(B | C) = [mm]\bruch{P(B \cap C)}{P(C)}[/mm]
>  =
> [mm]\bruch{P(B)}{1}[/mm] = P(B)

[ok]

>  
> zu (5) P(A | B [mm]\cap[/mm] C) = P(A | B)  wegen P(C) = 1
> trivial?!?

Hallo,
wenn P(C)=1, dann [mm] C=\Omega. [/mm] (und [mm] B\cap \Omega [/mm] = B).
Gruß Abakus




Bezug
                
Bezug
MC: bedingte W'keit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:53 Di 16.06.2009
Autor: luis52

Moin,

@abakus: Die Aussage [mm] "$P(C)=1\Rightarrow C=\Omega$" [/mm] ist i.a. nicht korrekt.

vg Luis

Bezug
                
Bezug
MC: bedingte W'keit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:16 Do 18.06.2009
Autor: NightmareVirus

Nach näherem Überlegen, ist Aussage (3) glaube ich doch richtig...

hatte in meinem "Gegenbeispiel" eine falsche Aussage verwendet, kann da irgendwer was zu sagen? Habe 5 Beispiel mengen A,B konstruiert und jedes mal klappte es...



Bezug
        
Bezug
MC: bedingte W'keit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:17 Fr 19.06.2009
Autor: luis52

Die Aussage (4) ist korrekt: Wegen [mm] $0\le P(B\cap\overline{C})\le P(\overline{C})=0$ [/mm] gilt [mm] $$P(B)=P(B\cap C)+P(B\cap \overline{C})=P(B\cap C)=\frac{P(B\cap C)}{P(C)}=P(B\mid C)\,.$$ [/mm]

(Beweis stammt von einem Freund, ist aber trotzdem prima ;-))

Die Aussage (5) ist korrekt: Mit einem analogen Argument wie oben ist [mm] $P(A\cap B\cap [/mm] C)= [mm] P(A\cap [/mm] B)$ und [mm] $P(B\cap [/mm] C)= P(B)$. Folglich ist

[mm] $$\frac{P(A\cap B\cap C)}{P(B\cap C)} =\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\iff P(A\mid B\cap C)=P(A\mid B)\,.$$ [/mm]

vg Luis
              

Bezug
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