Lustige Primzahlen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Mo 14.02.2005 | | Autor: | pjoas |
Ich hab mal rein aus Spass an der Freud Folgendes ausprobiert:
Bildet man von Primzahlen solange die Quersumme, dass die [mm] $\le [/mm] 10$ ist und untersucht man mal, sagen wir die Primzahlen < 15.000.000 (kann man in Java noch schön mit dem Sieb des Erastostenes programmieren) und merkt sich die Häufungen, so stellt man fest, dass diese iterierte Quersumme nie 1,3,6,9 ist (bei 3 mit Ausnahme der 3) und unter den anderen quasi gleichverteilt ist :
Haeufungen der ersten 970704 Primzahlen:
1 : 0
2 : 161844
3 : 1
4 : 161806
5 : 161849
6 : 0
7 : 161711
8 : 161811
9 : 0
10 : 161682
gibts da eine einfache Erklärung für? Leider platzt mein Java bei dem Versuch weiter zu gehen - aber ich finde diese Tatsache irgendwie spannend.
Gruß, Patrick
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Max |
Lemma(Teilbarkeitsregel für $3$): Sei [mm] $n\in \mathbb{N}$ [/mm] und $Q(n)$ die Quersumme von $n$. Wenn $3|Q(n)$ gilt auch $3|n$.
Damit folgt automatisch, dass jede Zahlmit der iterierten Quersumme $3$, $6$ oder $9$ bereits selbst durch $3$ teilbar war. Daher gibt es außer der $3$ keine Primzahl mit der iterierten Quersumme $3$, $6$ und $9$.
Hat eine Zahle die iterierte Quersumme $1$, war sie selbst durch $3n'+1$ darstellbar. Da aber $3n'$ ungerade ist, ist $3n'+1$ folglich gerade. Da $2$ die einzige gerade Primzahl ist und [mm] $2\neq [/mm] 3n'+1$ gibt es überhaupt keine Primzahl mit der gewünschten Eigenschaft.
Leider ist mir noch kein Beweis für die zweite Behauptung eingefallen - aber auch noch kein Gegenbeispiel.
Gruß Brackhaus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Max |
So hier eine Idee für den zweiten Teil:
Behauptung: Gilt $n=3n'+1$ so gilt auch $Q(n)=3m'+1$ (mit $m'<n'$).
Beweis: Sei $m=3n'$. Dann gilt wegen $3|m$ dass $3|Q(m)=m'$. Also gilt:
$Q(m)=3m' [mm] \Rightarrow [/mm] Q(m+1)=3m'+1 [mm] \Rightarrow [/mm] Q(n)=3m'+1$.
Die Bedingung $m'<n'$ ist wegen $m'=Q(m)<m<n$ erfüllt. [mm] \Box
[/mm]
Dummerweise bräuchte man ja eigentlich die Umkehrung der Aussage....
Gruß Brackhaus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Mo 14.02.2005 | | Autor: | pjoas |
Ich hab leider als iterierte Quersumme 10 zugelassen - daher kann die 1 nie auftreten.
Sorry - war insgesamt ne recht dumme Frage, aber die Gleichverteilung hat mich geschmissen - so dass ich gar nimmer denken konnte.
Gruß, Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Max |
Lemma: Sei $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] und $Q(n)$ die Quersumme von $n$. Gilt $Q(n)=3m+1$ so gilt auch $n=3n'+1$. ($m,n' [mm] \in \mathbb{N}_0$).
[/mm]
Beweis: Damit die Quersumme $Q(n)=3m+1$ sein kann muss gelten [mm] $n=3n''+10^k$ (n'',k\in \mathbb{N}_0). [/mm] Da aber [mm] $10^k$ [/mm] selbst dargestellt werden kann durch [mm] $10^k=3n'''+1$ [/mm] folgt folglich $n=3n''+3n'''+1=3(n''+n''')+1=3n'+1$. [mm] \Box
[/mm]
Zur Gleichverteilung: Primzahlen haben ja nachweislich nur die iterierte Quersummen $2; 4; 5; 7; 8$. Ich vermute das die Gleichverteilung der iterierten Quersummen der Primzahlen auch etwas mit der bsiher nicht ausreichend untersuchten Verteilung der Primzahlen selbst zu tun hat. Wie sich das tatsächlich verhält und ob für $n [mm] \to \infty$ [/mm] die Verteilung anders aussieht kann man wahrscheinlich nur spekulieren.
Gruß Brackhaus
PS: Wer will kann maö eben meinen dummerweise als Frage abgeschickten Kommentar beantworten, damit die Frage als nicht mehr offen erscheint.
|
|
|
|
