Lucas-Folge < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:08 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Murx |
| Aufgabe | Zeige das zwei aufeinanderfolgende Lucas-Zahlen teilerfremd sind.
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Hallo,
ich hab bei dieser Aufgabe folgendermaßen angefangen:
[mm] ggT(L_{n+1}, L_{n})=ggT(L_{n}+L_{n-1}, L_{n})=ggT(L_{n}, L_{n-1})
[/mm]
Wie kann ich hier nun am besten fortfahren, um zu zeigen, dass ggT = 1 ist??
Danke schonmal.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:31 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Murx |
Hallo,
kann ich das nicht einfach so machen:
ggT(1,3)=1. Aus [mm] ggT(L_{n},L_{n+1})=1 [/mm] folgt:
[mm] ggT(L_{n+1},L_{n}) [/mm] = [mm] ggT(L_{n}+L_{n-1}) [/mm] = [mm] ggT(L_{n},L_{n-1}) [/mm] =
[mm] ggT(L_{n+1},L_{n}) [/mm] =1
Reicht das als Beweis??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:29 So 14.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> kann ich das nicht einfach so machen:
>
> ggT(1,3)=1. Aus [mm]ggT(L_{n},L_{n+1})=1[/mm] folgt:
Wieso nimmst du an dass [mm]ggT(L_{n},L_{n+1})=1[/mm] gilt? Machst du etwa Induktion? Dann sag das doch auch!
> [mm]ggT(L_{n+1},L_{n})[/mm] = [mm]ggT(L_{n}+L_{n-1})[/mm] =
Der zweite Ausdruck macht so keinen Sinn.
> [mm]ggT(L_{n},L_{n-1})[/mm] =
Wie kommst du auf dieses Gleichheitszeichen?
> [mm]ggT(L_{n+1},L_{n})[/mm] =1
Aus [mm]ggT(L_{n+1},L_{n}) = 1[/mm] folgt [mm]ggT(L_{n+1},L_{n}) = 1[/mm]. Und was jetzt?
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 So 14.12.2008 | | Autor: | Murx |
Hallo,
es stimmt, der zweite Ausdruck macht keinen Sinn. ich meinte auch:
[mm] ggT(L_{n}+L_{n-1},L_{n})!!
[/mm]
Ansonsten hab ich versucht das analog zur Fibonacci-Folge zu machen, da Fibonacci- und Lucas-Zahlen ohnehin recht ähnlich sind...
Da sah der Beweis (zur analogen Fragestellung) folgendermaßen aus:
Beh: [mm] ggT(F_{n},F_{n+1})=1
[/mm]
Beweis: Es gilt [mm] ggT(F_{1},F_{2})=1. [/mm] Aus [mm] ggT(F_{n}, F_{n+1})=1 [/mm] folgt
[mm] ggT(F_{n+1},F_{n+2})=ggT(F_{n+1}, F_{n+1} [/mm] + [mm] F_{n})=ggT(F_{n+1},F_{n})=1 \Box
[/mm]
Daher kam ich auf die obere Idee das so zu machen. Weiß immer noch nicht ob das so geht. Hat da vielleicht nun jemand ne Idee zu???
Danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 So 14.12.2008 | | Autor: | anstei |
> Daher kam ich auf die obere Idee das so zu machen. Weiß
> immer noch nicht ob das so geht. Hat da vielleicht nun
> jemand ne Idee zu???
Dann probiers doch nochmal aus und schreib es ordentlich auf. Bei mir klappts genau gleich wie bei den Fibonacci-Zahlen.
Gruss,
Andreas
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