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Hallo liebe Mathematiker!
Ich habe ein sehr großes Problem und würde mich sehr freuen, wenn ihr mir weiter helfen könntet. Also:
Ein inhomogenes LGS mit 2 Variablen besitzt die Lösungen (1;2) und (3;4). Zeigen sie, dass dann auch alle Zahlenpaare der Form (1+2t; 2+2t) mit t E R Lösungen sind.
Ich habe schon versucht mit Hilfe der Linearkombination die Lösungen umzuschreiben, komme aber nicht weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo dornroeschen,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo liebe Mathematiker!
> Ich habe ein sehr großes Problem und würde mich sehr
> freuen, wenn ihr mir weiter helfen könntet. Also:
> Ein inhomogenes LGS mit 2 Variablen besitzt die Lösungen
> (1;2) und (3;4). Zeigen sie, dass dann auch alle
> Zahlenpaare der Form (1+2t; 2+2t) mit t E R Lösungen sind.
> Ich habe schon versucht mit Hilfe der Linearkombination
> die Lösungen umzuschreiben, komme aber nicht weiter.
Zunächst wissen wir, daß
[mm]A\;x_{1}\;=\;b[/mm]
und
[mm]A\;x_{2}\;=\;b[/mm]
gelten muß.
Schreibe nun [mm]x_{2}[/mm] als [mm]x_{1}\;+\;u[/mm], wobei u
hier die Differenz der zwei Lösungen [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] ist.
Setze das in die letzte Gleichung ein und ziehe Folgerungen daraus.
Gruß
MathePower
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Hallo!
Erst mal vielen Dank für die Antwort, sie hat mich zumindest ein wenig weiter gebracht. ich habe aber trotzdem noch ein paar Fragen, die mir zeigen, ob ich es richtig verstanden habe.
[mm] Ax_{1} [/mm] = b ist eine Lösung, also ich könnte auch schreiben [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{b}{A}?
[/mm]
Die zwei Lösungen sind dann meine Zahlentupel (1;2) und (3;4)? Dann kommt bei mir raus durch Einsetzen: [mm] x_{2}= x_{1} [/mm] + (1;2) - (3;4) und wenn man in die erste Gleichung einsetzt: [mm] A(x_{1} [/mm] +(1;2) - (3;4)) = b.
Aber woher weiß ich überhaupt, dass [mm] x_{2}=x_{1} [/mm] + u und dass u die Differenz zweier Lösungen ist?
Das sind mal wieder viele Fragen auf einmal, aber ich hoffe, mein Brett vorm Kopf kann demnächst verschwinden! *g*
DANKE!!! dornröschen
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Hallo dornroeschen,
> Hallo!
> Erst mal vielen Dank für die Antwort, sie hat mich
> zumindest ein wenig weiter gebracht. ich habe aber trotzdem
> noch ein paar Fragen, die mir zeigen, ob ich es richtig
> verstanden habe.
> [mm]Ax_{1}[/mm] = b ist eine Lösung, also ich könnte auch schreiben
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{b}{A}?[/mm]
Das gilt nur für den Fall, daß Du eine Gleichung in einer Unbekannten hast.
Im Falle, daß A eine quadratische Matrix (Ein LGS mit n Gleichungen und n Unbekannten), kann man schreiben:
[mm]x_{1}\;=\;A^{-1}\;{b}[/mm]
Darin ist auch der Sonderfall n=1 enthalten.
> Die zwei Lösungen sind dann meine Zahlentupel (1;2) und
> (3;4)? Dann kommt bei mir raus durch Einsetzen: [mm]x_{2}= x_{1}[/mm]
> + (1;2) - (3;4) und wenn man in die erste Gleichung
> einsetzt: [mm]A(x_{1}[/mm] +(1;2) - (3;4)) = b.
> Aber woher weiß ich überhaupt, dass [mm]x_{2}=x_{1}[/mm] + u und
> dass u die Differenz zweier Lösungen ist?
[mm]x_{2}\;=\;x_{1}\;+\; (x_{2}\;-\;x_{1})\;=\;x_{1}\; +\;u[/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo MAthepower!
Wie man auf die Differenz der zwei lösungen kommt, habe ich jetzt verstanden. Ich habe aber noch ein Problem mit dem A zu rechnen, also [mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] + u in [mm] x_{2}=A^{-1}b [/mm] einzusetzen und daraus meine Schlüsse zu ziehen...Wenn ich das nämlich einsetze kommt bei mir wieder die ursprüngliche Gleichung raus... Und wo bleiben meine beiden Lösungstupel? Die muss ich doch auch irgendwann verwenden?!
MfG dornröschen
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Hallo dornroeschen,
> Hallo MAthepower!
> Wie man auf die Differenz der zwei lösungen kommt, habe
> ich jetzt verstanden. Ich habe aber noch ein Problem mit
> dem A zu rechnen, also [mm]x_{2}[/mm] = [mm]x_{1}[/mm] + u in [mm]x_{2}=A^{-1}b[/mm]
> einzusetzen und daraus meine Schlüsse zu ziehen...Wenn ich
> das nämlich einsetze kommt bei mir wieder die ursprüngliche
> Gleichung raus... Und wo bleiben meine beiden Lösungstupel?
> Die muss ich doch auch irgendwann verwenden?!
Ja.
Wir haben also
[mm]\begin{gathered}
A\;x_1 \; = \;b \hfill \\
A\;x_2 \; = \;b \hfill \\
\Rightarrow \;A\;\left( {x_2 \; - \;x_1 } \right)\; = \;A\;u\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Hieraus folgt, daß die Differenz zweier Lösungen auf das Nullelement abgebildet wird.
Aufgrund der Linearität folgt, daß auch [mm]A\;\left( {t\;u} \right)\; = \;t\;A\;u[/mm] auf das Nullelement abgebildet wird (t Skalar). Das heißt mit [mm]x_{1}[/mm] ist auch [mm]x_{1}\;+\;t\;u[/mm] eine Lösung.
Gruß
MathePower
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Hallo Mathepower!
Erst mal vielen Dank für deine Hilfe. Ich habe jetzt auch noch mal durch selbst denken eine Lösung gefunden, die eigentlich genauso funktioniert wie diese. Mein Problem war nur irgendwie die Schreibweise, die ich nicht so gekannt habe.
Für alle, die es interessiert hier noch mal die Lösung:
Die Differenz zweier Lösunegn eines inhomogenen LGS ist eine Lösung des zugehörigen homogenen LGS.
Also: (3;4) - (1;2) = (2;2)
t(2;2) ist dann die allgemeinde Lösung des homogenen LGS.
Weil gilt: jede Lösung des homogenen LGS + eine Lösung des inhomogenen LGS = alle Lösungen des des inhomogenen LGS;
t(2;2) + (1;2) = (1+2t; 2+2t) q.e.d.
Also, danke!!!
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