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| Aufgabe | | Gilt die Inklusion [mm] L^{p}(X,\mu) \subset L^{\infty}(X,\mu) [/mm] für p [mm] \in [1,\infty), [/mm] falls (X, M, [mm] \mu) [/mm] ein endlicher Maßraum ist, d.h. [mm] \mu(X) [/mm] < [mm] \infty [/mm] |
Hallo Leute,
ich denke, dass die obige Behauptung gilt.
Ich hab mir das wie folgt überlegt:
Sei f [mm] \in L^{p}(X,\mu). [/mm] Dann gilt [mm] (\integral_{X}^{}{|f|^{p} d\mu})^{1/p} [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Da p [mm] \in [1,\infty) [/mm] ein fester Wert ist, gilt damit auch [mm] \integral_{X}^{}{|f|^{p} d\mu} [/mm] < [mm] \infty [/mm] und wegen der Monotonie des Integrals [mm] |f|^{p}< \infty [/mm] fast überall. Damit müsste man nun schließen können, das dass essentielle Supremum von |f| existiert, also kleiner unendlich ist und somit f [mm] \in L^{\infty}(X,\mu) [/mm] gilt.
Passt das so, oder muss ich bestimmte Sachen besser begründen bzw. hab ich was falsch gemacht?
Schon mal vielen Dank für eure Mühe!
Liebe Grüße
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> Gilt die Inklusion [mm]L^{p}(X,\mu) \subset L^{\infty}(X,\mu)[/mm]
> für p [mm]\in [1,\infty),[/mm] falls (X, M, [mm]\mu)[/mm] ein endlicher
> Maßraum ist, d.h. [mm]\mu(X)[/mm] < [mm]\infty[/mm]
> Hallo Leute,
>
> ich denke, dass die obige Behauptung gilt.
> Ich hab mir das wie folgt überlegt:
>
> Sei f [mm]\in L^{p}(X,\mu).[/mm] Dann gilt [mm](\integral_{X}^{}{|f|^{p} d\mu})^{1/p}[/mm]
> < [mm]\infty.[/mm] Da p [mm]\in [1,\infty)[/mm] ein fester Wert ist, gilt
> damit auch [mm]\integral_{X}^{}{|f|^{p} d\mu}[/mm] < [mm]\infty[/mm] und
> wegen der Monotonie des Integrals [mm]|f|^{p}< \infty[/mm] fast
> überall. Damit müsste man nun schließen können, das
> dass essentielle Supremum von |f| existiert, also kleiner
> unendlich ist und somit f [mm]\in L^{\infty}(X,\mu)[/mm] gilt.
>
> Passt das so, oder muss ich bestimmte Sachen besser
> begründen bzw. hab ich was falsch gemacht?
>
> Schon mal vielen Dank für eure Mühe!
>
> Liebe Grüße
Für endliche Maße gilt die umgekehrte Inklusion [mm] L^{\infty}\subset L^p,
[/mm]
es gibt jedoch i.A. Funktionen, die zu [mm] L^p, [/mm] aber nicht zu [mm] L^{\infty}gehören.
[/mm]
Bsp: X = (0,1] mit Lebesgue-Maß, [mm] $f(x)=x^{-\frac{1}{2p}}$
[/mm]
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Hallo,
ok, vielen Dank für die hilfreiche Antwort!
Liebe Grüße
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