Lp Beschränktheit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Di 04.10.2011 | | Autor: | Fry |
Hallo,
folgendes Problem:
Es sei [mm](X_n)_n[/mm] eine Folge von Zufallsvariablen, für die ich [mm]L_p[/mm]-Beschränktheit,d.h. es existiert ein [mm]p>1[/mm] mit [mm]sup_{n\in\IN}E|X_n|^p<\infty[/mm], zeigen möchte.
Die soll folgen aus:
(1)[mm]X_n\ge a (a\in\IR)[/mm]
(2) [mm]P(X_n\ge b_n+\varepsilon)\le e^{-\varepsilon n} [/mm] für alle [mm]\varepsilon>0[/mm], wobei [mm]\lim_{n\to\infty}b_n=D-\lim_{n\to\infty}X_n[/mm]. [mm] (b_n\in\IR)
[/mm]
Bräuchte da eure Hilfe, bin für jeden Tip dankbar.Danke!
Viele Grüße
Fry
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:00 Fr 14.10.2011 | | Autor: | Fry |
Hab in einem Buch gefunden, dass für die gleichgradige Integrierbarkeit auch folgendes hinreichend Kriterium gilt:
[mm] $(X_n)_n$ [/mm] ist gleichgr. integrierbar [mm] \gdw [/mm] eine [mm] $\lambda$-integrierbare [/mm] Funktion G existiert, so dass [mm] $P(|X_n|>\varepsilon)\le G(\varepsilon)$ [/mm] für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und [mm] $n\in\IN$
[/mm]
Würde das hier weiterhelfen? Kann man von gleichgradigen Integrierbarkeit auf die Lp-Beschränktheit schlussfolgern?
LG
Fry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 21.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Fr 14.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] \lim_{n\to\infty}b_n=D-\lim_{n\to\infty}X_n [/mm] $. $ [mm] (b_n\in\IR) [/mm] $
das hier impliziert, daß [mm] $(X_n)_n$ [/mm] konvergiert. Soll es das wirklich?
EDIT: Argh, Sch... muß es natürlich nicht, wenn D eine ZV sein soll.
Für die Aufgabe hätte ich die Identität
$EX = [mm] \int_0^\infty P(X\geq [/mm] x)\ dx,$
für [mm] $\IR_+$ [/mm] wertige ZV genommen.
(Mußt Du für Deine Aufgabe noch etwas zurechthämmern. Du kannst OBdA annehmen, daß die [mm] X_n [/mm] positiv sind und [mm] $P(X^p\geq [/mm] x)$ aus [mm] $P(X\geq [/mm] x)$ abschätzen.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Fr 14.10.2011 | | Autor: | Fry |
Vielen Dank schonmal, dass du geantwortet hast :) :)!
Oh, sorry, dass hätte ich näher erläutern sollen,
also [mm] $X_n$ [/mm] konvergiert in Verteilung gegen eine Konstante.
Und diesen Verteilungslimes hab ich mit $D-lim [mm] X_n$ [/mm] bezeichnet.
Mmmm...ja, [mm] $X_n$ [/mm] ist sogar [mm] $\ge [/mm] 0$. Handelt sich um ne Partitionsfunktion
also mal vereinfachend geschrieben [mm] $X_n=\sum_{i=1}^{m}e^{-H(i)}$
[/mm]
H ist wieder ne Zufallsgröße, die von i abhängt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Fr 14.10.2011 | | Autor: | Fry |
Habs jetzt so gemacht:
[mm] $EX^p_n=\int_{0}^{\infty}pt^{p-1}P(X\ge [/mm] t) dt
[mm] \le\int_{0}^{a}pt^{p-1}dt+\int_{a}^{b_n}pt^{p-1}dt+\int_{b_n}^{\infty}pt^{p-1}e^{-nt}dt<\infty$
[/mm]
Stimmt das so?
LG
Fry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Sa 15.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [mm] $EX^p_n=\int_{0}^{\infty}pt^{p-1}P(X\ge [/mm] t) dt$
> $ [mm] \le\int_{0}^{a}pt^{p-1}dt+\int_{a}^{b_n}pt^{p-1}dt+\int_{b_n}^{\infty}pt^{p-1}e^{-nt}dt<\infty$ [/mm]
[mm] $\int_0^{b_n}$ [/mm] mußt Du gar nicht weiter aufspalten. Und hinten darfst Du nicht vergessen, daß die Abschätzung für
[mm] $P(X_n\geq b_n+\varepsilon)$ [/mm] gilt, also ist's [mm] $e^{-n(t-b_n)}$.
[/mm]
Außerdem reicht es nicht, daß alles [mm] $<\infty$ [/mm] ist, Du willst ja Beschränktheit begründen. Da braucht es eine schärfere Abschätzung als [mm] $<\infty$. [/mm] Kann man aber aus der Beschränktheit von [mm] $b_n$ [/mm] folgern. =)
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Sa 15.10.2011 | | Autor: | Fry |
Hey Stefan,
aber wenn ich doch doch im Bereich von [mm] $[b_n,\infty)$ [/mm] integriere, dann entspricht [mm] $P(X_n>t)$ [/mm] doch [mm] $P(X_n>b_n+t)$, [/mm] oder?
Wieso reicht das nicht? Weil das Supremum nicht endlich sein muss?
Wie kann man das denn aus der Beschräntkeit von [mm] b_n [/mm] folgern?
VG
Fry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Sa 15.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> aber wenn ich doch doch im Bereich von $ [mm] [b_n,\infty) [/mm] $ integriere, dann entspricht $ [mm] P(X_n>t) [/mm] $ doch $ [mm] P(X_n>b_n+t) [/mm] $, oder?
Ja, nur sind das 2 unterschiedliche t. Das erste geht ist aus [mm] $[b_n,\infty)$ [/mm] das zweite aus [mm] $[0,\infty)$, [/mm] schließlich addierst Du beim zweiten noch [mm] $b_n$ [/mm] dazu. Nachdem Deine Abschätzung das zweite verwendet, mußt Du das auch berücksichtigen.
> Wieso reicht das nicht?
[mm] $a_n:=n<\infty,\ \forall n\in\IN$, [/mm] aber [mm] $\sup_n a_n=\infty$.
[/mm]
> Wie kann man das denn aus der Beschräntkeit von $ [mm] b_n [/mm] $ folgern?
substituiere in
[mm] $\int_{b_n}^{\infty}pt^{p-1}e^{-n(t-b_n)}dt [/mm] $
[mm] $\varepsilon:=t-b_n$
[/mm]
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Sa 15.10.2011 | | Autor: | Fry |
Jaa, habs jetzt auch gemerkt *Brett vorm Kopf* ;)
Also ist das letzte Integral ja gleich
[mm] $=\int_{0}^{\infty}(b_n+t)^{p-1}pP(X>b_n+t)dt
[/mm]
[mm] =\int_{0}^{\infty}(b_n+t)^{p-1}pe^{-nt}dt$
[/mm]
Aber für ne Abschätzung müsst ich das konkret ausrechnen, oder? Für allgemeines p ist das ja relativ schlecht. Wie würdest du das konkret machen, Stefan?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Sa 15.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Aber für ne Abschätzung müsst ich das konkret ausrechnen, oder?
[mm] $\int_0^\infty x^{z-1}\,e^{-x}\,dx [/mm] = [mm] \Gamma(z)$
[/mm]
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 So 16.10.2011 | | Autor: | Fry |
[mm] $\int_{0}^{\infty}(b_n+t)^{p-1}pe^{-nt}dt
[/mm]
[mm] =\int_{b_n}^{\infty}t^{p-1}pe^{-n(t-b_n)}dt
[/mm]
[mm] =e^{nb_n}p\int_{b_n}^{\infty}t^{p-1}e^{-nt}dt
[/mm]
[mm] =e^{nb_n}p\frac{1}{n^p}\int_{nb_n}^{\infty}t^{p-1}*e^{-t}dt
[/mm]
[mm] \le \frac{e^{nb_n}p(p-1)!}{n^p}$
[/mm]
Stimmt das so?
Und das konvergiert ja leider nicht [mm]:([/mm]
Und ich nehme mal stark an, dass das Integral darüber auch nicht schneller gegen 0 konvergiert als [mm] e^{nb_n} [/mm] gegen unendlich strebt.
VG
Fry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:33 So 16.10.2011 | | Autor: | Blech |
[mm] $\int_{0}^{\infty}(b_n+t)^{p-1}pe^{-nt}dt [/mm] =$
$= [mm] \frac [/mm] pn [mm] \int_0^\infty (b_n+\frac tn)^{p-1}e^{-t}\ [/mm] dt=$
[mm] $=\frac [/mm] pn [mm] \sum_{i=0}^{p-1} {p-1\choose i} \frac{b_n^{p-1-i}}{n^i}\Gamma(i+1)\ \longrightarrow\ 0\qquad \forall [/mm] p>1$
für [mm] $p\notin \IN$ [/mm] schätzt Du mit [mm] $\lceil p-1\rceil$ [/mm] ab.
> Und ich nehme mal stark an, dass das Integral darüber auch nicht schneller gegen 0 konvergiert als $ [mm] e^{nb_n} [/mm] $ gegen unendlich strebt.
Die zu integrierende Funktion fällt exponentiell (!) und Du schiebst die untere Grenze linear nach rechts. Also fällt auch das Integral exponentiell.
[mm] $\int_{nb_n}^{\infty}t^{p-1}\cdot{}e^{-t}dt [/mm] $
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Mo 17.10.2011 | | Autor: | Fry |
Alles verstanden, nochmal ein großes Dankeschön :)
LG!
|
|
|
|
