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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich habe gewisse Unklarheiten bezüglich des [mm][ L^p [/mm] - Raumes.
In einer früheren Analysis - Vordiplom - Prüfung ist nach einen Beispiel für einen Hilbert - Raum gefragt. Die erwartete Antwort war der Raum [mm] L^p [/mm].
Die nächste Frage war, wie das Skalarprodukt dann ausschaut...
So, und hier habe ich die ersten Unklarheiten!
Ich kenne das Skalarprodukt zu [mm] L_{ \mathbb C }^2 [/mm] und zu [mm] L_{ \mathbb R }^2 [/mm], aber nicht zu [mm] L^p [/mm] allgemein. Wie ist denn das Skalarprodukt dort definiert?
Als nächstes soll man den [mm] [mm] L^2 [/mm] ( [mm] \mathbb [/mm] N ) betrachten. Die Frage ist da nach dem Skalarprodukt und dem Integral.
Ich weiß, dass das Skalarprodukt dort [mm] ( (x_n) \| (y_n ) ) = \summe_n x_n \overline {y_n } [/mm] ist und man diesen Hilbert - Raum mit [mm] l_{ \mathbb C } ^2 [/mm] bezeichnet.
Aber was ist denn das Integral?
Und zuletzt:
Sei [mm] V \subseteq \mathbb N [/mm] und V ist endlich. Betrachte [mm] L^2 (V) [/mm]. Was ist das Skalarprodukt, Integral, und das Maß auf V ???
Soweit ich weiß, ist doch bei [mm] V = \{ 1, ..., n \}, \mathcal A = \mathcal P (V) [/mm] und das Maß ist [mm] \mu ( \{k \} ) = 1 [/mm] für alle k.
Dann ist [mm]L_{ \mathbb C }^2 = \mathbb C^n [/mm] mit dem üblichen Skalarprodukt.
Aber was ist genau das Integral? Das Lebesque - Integral ???
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:44 Di 06.05.2008 | | Autor: | felixf |
Guten Morgen!
> Ich habe gewisse Unklarheiten bezüglich des [mm][ L^p[/mm] -
> Raumes.
> In einer früheren Analysis - Vordiplom - Prüfung ist nach
> einen Beispiel für einen Hilbert - Raum gefragt. Die
> erwartete Antwort war der Raum [mm]L^p [/mm].
Das glaube ich nicht. Die Norm dort ist naemlich nicht durch ein Skalarprodukt induziert, es sei denn $p$ ist gleich 2.
> Die nächste Frage
> war, wie das Skalarprodukt dann ausschaut...
>
> So, und hier habe ich die ersten Unklarheiten!
> Ich kenne das Skalarprodukt zu [mm]L_{ \mathbb C }^2[/mm] und zu
> [mm]L_{ \mathbb R }^2 [/mm], aber nicht zu [mm]L^p[/mm] allgemein. Wie ist
> denn das Skalarprodukt dort definiert?
Gar nicht. Also man kann natuerlich moeglicherweise irgendwie ein Skalarprodukt definieren, aber dieses erzeugt nicht die normale $p$-Norm auf [mm] $L^p$.
[/mm]
> Als nächstes soll man den [mm][mm]L^2[/mm] ( [mm]\mathbb[/mm] N ) betrachten.
> Die Frage ist da nach dem Skalarprodukt und dem Integral.
> Ich weiß, dass das Skalarprodukt dort [mm]( (x_n) \| (y_n ) ) = \summe_n x_n \overline {y_n }[/mm]
> ist und man diesen Hilbert - Raum mit [mm]l_{ \mathbb C } ^2[/mm] bezeichnet.
> Aber was ist denn das Integral?
Nunja, die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist die Potenzmenge auf [mm] $\IN$, [/mm] und das Mass ist das Zaehlmass, d.h. [mm] $\mu(A) [/mm] := |A|$. Daraus folgt, dass das Integral [mm] $\int_{\IN} [/mm] f(x) dx$ gegeben ist durch [mm] $\sum_{n\in\IN} [/mm] f(n)$. Daraus folgt auch $( [mm] (x_n) \| (y_n) [/mm] ) = [mm] \int_{\IN} x_n \overline{y_n} [/mm] dn = [mm] \sum_{n\in\IN} x_n \overline{y_n}$.
[/mm]
> Und zuletzt:
>
> Sei [mm]V \subseteq \mathbb N[/mm] und V ist endlich. Betrachte [mm]L^2 (V) [/mm]. Was ist
> das Skalarprodukt, Integral, und das Maß auf V ???
>
> Soweit ich weiß, ist doch bei [mm]V = \{ 1, ..., n \}, \mathcal A = \mathcal P (V)[/mm] und
> das Maß ist [mm]\mu ( \{k \} ) = 1[/mm] für alle k.
Genau, hier hast du ebenfalls das Zaehlmass.
> Dann ist [mm]L_{ \mathbb C }^2 = \mathbb C^n[/mm] mit dem üblichen Skalarprodukt.
> Aber was ist genau das Integral? Das Lebesque - Integral ???
Nein, das Integral zum Zaehlmass. Es ist genau das gleiche wie oben, nur dass du nicht ueber alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] sondern ueber alle $n [mm] \in [/mm] V$ summierst, d.h. [mm] $\int [/mm] f(x) dx = [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] f(i)$.
LG Felix
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