Lp - Räume Inklusion zeigen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Sein [mm] ( X, \mathcal A, \mu ) [/mm] ein Maßraum mit [mm] \mu (X) < \infty [/mm]. Zeigen Sie, dass für [mm] 1 \le p < \infty [/mm] gilt :
[mm] L^{p} (x) \subset L^1 (X) [/mm] |
Hallo zusammen! Ich habe zu dieser Aufgabe eine Lösung zu der ich gewisse Verständnisfragen habe und hoffe, dass mir das jemand helfen kann!
Nach der Definition ist
[mm] \mathcal L^{p} (X, \mu) = \{ f | f messbar, & \integral |f| ^{p} < \infty \}.
L^{p} (X, \mu ) = \mathcal L ^{p} (X, \mu) \setminus_{ \sim } [/mm]
Im der Lösung die ich dazu habe, beschäftigt man sich nur mit
[mm] \mathcal L^{p} (X, \mu) [/mm] und nicht mit [mm] L^{p} (X, \mu ) [/mm] . Warum kann man das so schließen?
Aber nun zur mir zur Verfügung stehenden Lösung:
Sei [mm] f \in \mathcal L^{p} (X) [/mm].Sei o.B.d.A. p > 1. Weil [mm] \mu (X) < \infty [/mm], ist [mm] 1 \in \mathcal L^{q} (X) [/mm].
( Zwischenftrage: Warum kann man das schließen ? )
Nach der Hölderschen Ungleichung ist
[mm] \| [/mm] f [mm] \|_{1} \le \| [/mm] f [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \|_{1} \le \|f \|_{p} \cdot \|1 \|_{q} [/mm] < [mm] \infty [/mm] [/mm]
So, hiermit ist wohl bewiesen, dass [mm] \mathcal L ^p (X) \subset \mathcal L ^{1} (X) [/mm] ist. Aber warum kann man auf die Räume [mm] L^{p} [/mm] schließen?
Ist diese Lösung überhaupt richtig?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Mi 12.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Im der Lösung die ich dazu habe, beschäftigt man sich nur
> mit
> [mm]\mathcal L^{p} (X, \mu)[/mm] und nicht mit [mm]L^{p} (X, \mu )[/mm] .
> Warum kann man das so schließen?
es gilt doch [mm] $\|f\|_p [/mm] = [mm] \|g\|_p$ [/mm] für alle $g [mm] \in [/mm] [f]$. und insbesondere ist die norm auf [mm] $L^p$ [/mm] ja einfach als die norm eines beliebigen repräsentanten der klasse definiert. somit genügt es die aussage für einen beliebigen repräsentanten nachzurechnen und der liegt dann nun mal in [mm] $\mathcal{L}^p$.
[/mm]
> Aber nun zur mir zur Verfügung stehenden Lösung:
>
> Sei [mm]f \in \mathcal L^{p} (X) [/mm].Sei o.B.d.A. p > 1. Weil [mm]\mu (X) < \infty [/mm],
> ist [mm]1 \in \mathcal L^{q} (X) [/mm].
>
> ( Zwischenftrage: Warum kann man das schließen ? )
die konstante funktion ist ja auf jeden fall messbar, da stetig (alternativ kann man sich auch die urbilder beliebiger mengen hinschreiben - mit fallunterscheidung, ob die $1$ in der menge ist oder nicht - und sieht, dass diese alle auf jeden fall in der [mm] $\sigma$-algebra [/mm] im urbildraum liegen). nun berechne mal [mm] $\int_X |1|^p$ [/mm] unter beachtung, dass [mm] $\mu(X) [/mm] < [mm] \infty$. [/mm]
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Do 13.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Danke für die Hilfe! Ich bin jetzt fast 100%ig von der Lösung überzeugt... Die Tatsache, dass es reicht die Inklusion für [mm] \mathcal L ^{p} [/mm] zu zeigen, versteh ich, aber ich habe denke ich nicht richtig verstanden, dass ich, wenn ich die Höldersche Ungleichung angewendet habe, fertig bin... Kann man mir vielleicht verdeutlichen, warum ich da schon die Inklusion gezeigt habe?
Vielen Dank schon mal!
Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Do 13.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
Du musst doch nur zeigen, dass aus [mm]f\in {\cal L}^p[/mm], also
[mm] \integral |f|^p < \infty [/mm]
die Aussage
[mm] \integral |f|< \infty [/mm],
also [mm]f\in {\cal L}^1[/mm] folgt.
Nun ist mit der Hölder-Ungleichung
[mm] \integral |f| = \|f\|_1 \le \|f\|_p * \|1\|_q = \left(\integral |f|^p\right) * \|1\|_q < \infty [/mm],
weil beide Faktoren auf rechten Seite [mm]<\infty[/mm] sind.
Viele Grüße
Rainer
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