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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:28 Do 28.05.2009 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | [mm] (\Omega,A,P) [/mm] sei Wkeitsraum und [mm] f_n\subset L_1(p). [/mm] Zeigen Sie, dass äquivalent sind:
(1) [mm] ||f_n-f_0||\to0
[/mm]
(2) [mm] ||f_n||\to||f_0|| [/mm] und [mm] P(|f_n-f_0|>\varepsilon)\to0 [/mm] für alle [mm] \varepsilon>0.
[/mm]
wobei [mm] ||f||:=\integral_{}^{}{|f| d\mu}
[/mm]
und [mm] L_1(P) [/mm] Menge der messbaren Funktionen mit [mm] \integral_{}^{}{|f| d\mu}<\infty
[/mm]
Hinweis: [mm] f_n [/mm] besitzt eine Teilfolge, die für P fast alle [mm] w\in\Omega [/mm] konvergiert. |
Hallo zusammen,
hab mich an der Aufgabe versucht, komme aber nur teilweise weiter.
Mein Ansatz:
Hinrichtung:
[mm] P(|f_n-f_0|<\varepsilon)\le \integral_{}^{}{ \bruch{|f_n-f_0|}{\varepsilon}d\mu}=\bruch{1}{\varepsilon}*||f_n-f_0||)\to [/mm] 0
Gilt die erste Abschätzung überhaupt bzw warum?
und
[mm] 0\le|\integral_{}^{}{|f_n| d\mu}-\integral{}^{}{|f_0|d\mu} |=|\integral{}^{}{(f_n-f_0)d\mu}|\le |\integral{}^{}{|f_n-f_0|d\mu}\to [/mm] 0
[mm] \Rightarrow ||f_n||\to ||f_0||
[/mm]
Stimmt das so?
Bzgl der Rückrichtung hab ich keine Ahnung. Würde mich freuen, wenn ihr mir Tipps geben könntet. Danke für eure Hilfe!
VG
Fry
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(Frage) überfällig | | Datum: | 00:43 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Fry |
Hat niemand einen Hinweis für mich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 So 31.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 29.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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