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| Aufgabe | 1) Zeigen Sie, dass es zu einer Geraden g im [mm] R^2 [/mm] und einem Punkt [mm] Q\ing [/mm] genau eine "Lotgerade" auf g durch Q gibt.
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Hallo,
hat jemand eine Idee, wie man hier ansetzen kann? Irgendwie indirekt? Oder beweisen, dass es genau eine Gerade gibt, bei der alle Punkte von g rechts von Q und von g links von Q gleichweit entfernt sind? - So ähnlich wie bei einer Winkelhalbierenden???
Wäre für einen Tipp dankbar...
Viele Grüße,
Anna
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Hallo ANNA!!!
Mit der Idee der Winkelhalbierenden bist du schon nicht schlecht, allerdings sollst du ein Lot beweisen, genauer gesagt dessen Existenz.
Ein Lot ist definiert, als "kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt und einer Geraden (kleinster Abstand)" oder mathematisch: Die direkte Verbindung zwischen einem Punkt (Q) und einer Geraden, bei der die Strecke senkrecht auf der Geraden steht. Dies ist der Fußpunkt [mm] (F_{Q}) [/mm] und die Strecke [mm] \overline{QF_{Q}}!!!
[/mm]
mmh, schau dir mal diese beiden Definitionen an und entwickele dann einen logischen Beweis, der durch indirekte Beweisführung vervollständigt wird.....
Bei Fragen, gerne;)....
Annahme: Es gibt mehrere Lotgeraden
Vorraussetzungen: Gerade g, Punkt Q
Beweis: "Definitionen Lot"
-->anschauen und über "1. kürzeste Verbindung zwischen Q und g" und dem "2. Sachverhalt einer Gerade g" nachdenken.....
einen schönen Abend noch
stef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Casandra |
Hallo Anna!
Ich glaube du hast vergessen, dass Q auf g liegen soll. Sonst ist der Beweis wie beim Hilfssatz 3.13.
Liebe Grüße Casandra
Habe aber auch keine Idee wie man diese Aufgabe lösen muss.
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> 1) Zeigen Sie, dass es zu einer Geraden g im [mm]R^2[/mm] und einem
> Punkt [mm]Q\ing[/mm] genau eine "Lotgerade" auf g durch Q gibt.
>
>
> Hallo,
> hat jemand eine Idee, wie man hier ansetzen kann?
> Irgendwie indirekt?
Hallo,
zunächst mal ist es wichtig, daß Du erkennst, daß zweierlei zu zeigen ist, nämlich die Existenz einer solchen Geraden und die Eindeutigkeit.
Die Aufgabe spielt ja im [mm] \IR^2.
[/mm]
Nimm an, daß Dir die Gleichung der Geraden g in Parameterform vorliegt, etwas
g: [mm] \vec{x}=\vektor{p_1 \\ p_2} [/mm] + [mm] \lambda\vektor{1 \\ m}.
[/mm]
Für die Existenz gibst Du nun einfach eine Gerade an, welche senkrecht zu g ist und durch [mm] Q(q_1/q_2) [/mm] verläuft. (Daß ddie beiden Geraden wirklich senkrecht zueinander sind, rechne vor.)
Wenn Du das hast, kommt die Eindeutigkeit.
Hierzu nimmst Du an, daß es eine weitere Gerade gibt, die die Bedingung erfüllt, und dann zeigst Du, daß sie gleich sein müssen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Di 10.06.2008 | | Autor: | jersey17 |
Wie zeige ich denn dass die beiden Geraden wirklich senkrecht zu einander sind? Dafür müsste ich doch etwas über die Richtungsvektoren wissen oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Di 10.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Nimm die Darstellung von g wie es Angela vorgeschlagen hat.
Welchen Richtungsvektor hat dann eine Gerade die auf g senkrecht steht ?
Wenn eine solche Gerade dann auch noch durch den Punkt Q gehen soll, so ist diese Gerade eindeutig bestimmt (durch Angabe des Richtungsvektors und durch Angabe eines Punktes auf ihr).
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Di 10.06.2008 | | Autor: | Casandra |
Geht dieser Weg auch wenn Q auf g liegt?
Kann dann ja trotzdem beide Geradengleichungen aufstellen
g: [mm] \overrightarrow{x}= \overrightarrow{q} [/mm] + r * [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und
h: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{q} [/mm] + s [mm] \overrightarrow{u}.
[/mm]
Jedoch komme ich hier dann nicht weiter. Die Richtungsvektoren von g und h müssen jetzt ja senkrecht zueinander sein und es muss dann [mm] \overrightarrow{a} [/mm] * [mm] \overrightarrow{u} [/mm] = 0 gelten.
Muss ich jetzt den Punkt Q noch in einer Gleichung asudrücken. Stehe irgendwie auf dem Schlauch.
Lieben Gruß Casandra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Di 10.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da du theoretisch für g und h auch andere Aufpunkte als q wählen könntest un statt a einen dazu proportionalen Vektor, ebenso für u, muss du noch kurz schreiben, dass h trotzdem dieselbe Gerade ist, weil man jedes andere h ,das durch q geht so umschreiben kann.
Gruss leduart
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