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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Mi 02.03.2005 | | Autor: | Maria1 |
Von 300 Losen einer Lotterie sind 75 Gewinnlose. 60 Lose werden in der ersten Stunde verkauft. X bezeichnet die Anzahl der Gewinnlose unter diesen 60.
a) Geben Sie E(X) und D²(X) an.
Hier würde ich 75/300 * 75/60 rechnen, um die Wahrscheinlichkeit der Gewinnlose zu erhalten. Nun weiß ich aber nicht genau, um welche Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung es sich hier handelt und wie ich den Erwartungswert und die Streuung berechnen soll.
b) Geben Sie als Formel P(X=0) und P(X=12) an.
Hier habe ich bisher leider noch keinen Lösungsansatz. Aber wahrscheinlich komme ich hier selbst weiter, wenn ich Aufgabe a) verstanden habe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Maria!
> Von 300 Losen einer Lotterie sind 75 Gewinnlose. 60 Lose
> werden in der ersten Stunde verkauft. X bezeichnet die
> Anzahl der Gewinnlose unter diesen 60.
>
> a) Geben Sie E(X) und D²(X) an.
>
> Hier würde ich 75/300 * 75/60 rechnen, um die
> Wahrscheinlichkeit der Gewinnlose zu erhalten.
Was berechnest Du hier genau?
> Nun weiß ich
> aber nicht genau, um welche Art von
> Wahrscheinlichkeitsverteilung es sich hier handelt und wie
> ich den Erwartungswert und die Streuung berechnen soll.
Zunächst mal weiß ich nicht genau, was ihr schon durchgenommen habt. Die Verteilung, die hier vorliegt, heißt hypergeometrische Verteilung. Sie kann aber durch eine Binomialverteilung angenähert werden. Ich vermute, dass letztere hier gefragt ist.
> b) Geben Sie als Formel P(X=0) und P(X=12) an.
Zur Verdeutlichung schreibe ich mal für beide Verteilungen P(X=0) auf. Die Formel für die hypergeometrische Verteilung orientiert sich an der Laplace-Annahme und demnach der Regel "Wkt. eines Ereignisses A ist gleich Anzahl der für A günstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl der möglichen Ergebnisse". Für die Anzahl der möglichen Ergebnisse haben wir beim Ziehen der 60 Lose aus den insgesamt 300 Losen genau [mm] ${300\choose 60}$ [/mm] Möglichkeiten. Von diesen 60 Losen sollen nun alle Nieten sein, d.h. alle aus der Menge der 300-75=225 "Nicht-Gewinn-Lose" und keins aus der Menge der 75 Gewinnlose. Damit ergibt sich
[mm] $P(X=0)=\frac{{225\choose 60}\cdot {75\choose 0}}{{300\choose 60}}=\frac{{225\choose 60}}{{300\choose 60}}$
[/mm]
Nun kann man das Problem aber vereinfachen, indem man annimmt, es wird mit Zurücklegen gezogen, so dass sich die Wkt. für einen Gewinn nicht ändert. Dann ist X binomialverteilt und zwar mit n=60 (so viele Lose betrachtet man ja) und p=75/300 (Gewinnwkt. für das erste Los, das man zieht). Damit folgt
[mm] $P(X=0)={60\choose 0}\left(\frac{75}{300}\right)^0\cdot\left(1-\frac{75}{300}\right)^{60}=\left(1-\frac{75}{300}\right)^{60}.$
[/mm]
Ich möchte aber darauf hinweisen, dass die Rechnung mit der Binomialverteilung nur eine Näherung darstellt und nicht das exakte Ergebnis liefert. Leider wird dieser Unterschied in der Schule oft nicht gemacht; daher bin ich unsicher, was hier verlangt wird. Es sollte aber offensichtlich sein, dass Zurücklegen von Losen keine vernünftige Annahme darstellt.
b) sollte nun halbwegs klar sein. Zu a) kannst Du ja mal im Buch nachschauen, wie man Erwartungswert und Varianz bei den entsprechenden Verteilungen berechnet.
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:41 Do 03.03.2005 | | Autor: | Maria1 |
Vielen Dank für deine Antwort.
Ich denke, wir sollen die Aufgabe mit der hypergeometrischen Verteilung lösen.
Dazu steht nämlich sogar die Formel in meinem Buch. Irgendwie habe ich die Seite bisher übersehen.
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