Lokales Martingal vs Martingal < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] B_t [/mm] eine [mm] \var{d} [/mm] -dimensionale Brown'sche Bewegung mit [mm] d\ge [/mm] 3 und [mm] x\in\IR, x\neq [/mm] 0. Es soll als bekannt vorausgesetzt werden, dass [mm] P(B_t\neq \var{x})=1 [/mm] für alle [mm] t\ge [/mm] 0 und [mm] \lim_{t\to\infty}\|B_t\|=\infty [/mm] P-f.s. Es sei [mm] f(x)=\|x\|^{2-d}, x\neq [/mm] 0, wobei [mm] \|\cdot\| [/mm] die Euklidische Norm bezeichne.
a) Zeigen Sie mit Hilfe der Ito-Formel, dass [mm] M_t:=f(x+B_t) [/mm] ein stetiges lokales Martingal ist für jedes [mm] x\neq [/mm] 0.
b) [mm] M_t [/mm] ist beschränkt in [mm] L^p, 1\le p<\frac{d}{d-2}. [/mm] Die Familie [mm] (M_t)_{t\ge 0} [/mm] ist daher gleichmäßig integrierbar.
c) Folgern Sie, dass [mm] M_t [/mm] kein Martingal ist.
Hinweis: Die Ito-Formel gilt offensichtlich auch, wenn man die obere Grenze [mm] \var{t} [/mm] durch eine Stoppzeit [mm] \tau [/mm] ersetzt. |
Hallo,
also ich habe mal wieder nur Fragezeichen im Kopf. a) Als erstes wende ich mal die Ito-Formel an, wobei [mm] \Delta [/mm] den Laplace-Operator bezeichne:
[mm] \|x+B_t\|^{2-d} [/mm] = [mm] \|x+B_0\|^{2-d} [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^d\int_0^t\frac{\partial}{\partial x_i}\|x+B_s\|^{2-d}\,dB_s^i [/mm] + [mm] \frac{1}{2}\sum_{i=1}^d\int_0^t\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}\|x+B_s\|^{2-d}\,d\underbrace{[B ^i,B^i]_s}_{=s}
[/mm]
= [mm] \|x\|^{2-d} [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^d\int_0^t\frac{\partial}{\partial x_i}\|x+B_s\|^{2-d}\,dB_s^i [/mm] + [mm] \frac{1}{2}\int_0^t\underbrace{\Delta\|x+B_s\|^{2-d}}_{=\le\ge ?}\,ds
[/mm]
Ich kann einfach zeigen, dass [mm] \|y\|^{2-d} [/mm] für [mm] d\ge [/mm] 3 eine harmonische Funktion ist. Allerdings weiß ich, dass [mm] \|x+B_t\| [/mm] superharmonisch sein müsste und somit [mm] \Delta\|x+B_t\|\le [/mm] 0 gilt und damit würde dann folgen, dass [mm] \|x+B_t\|^{2-d} [/mm] ein Supermartingal wäre...
Aber wie kann das sein, wieso ist das Ding nicht harmonisch und wieso habe ich dann kein Martingal, sondern eben nur ein lokales Martingal. Für einen Tipp bin sehr dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 Mo 24.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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