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Lokales Extrema einer Funktion: Frage zum Thema
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 Mi 10.09.2008
Autor: TVSPLT

Aufgabe
Suche die lokalen Extrema der Funktion: f(x) = [mm] (0,5)^x [/mm] + [mm] e^x [/mm]

Logischerweise müssen zuerst die beiden Ableitungen gebildet werden:
f'(x) = ln(0,5) * [mm] (0,5)^x [/mm] + [mm] e^x [/mm]
f''(x) = ln(0,5) * ln(0,5) * [mm] (0,5)^x [/mm] + [mm] e^x [/mm]

Anschließend die notwendige Bedingung f'(x) = 0. Irgendwo hierbei muss ich einen Rechenfehler machen, da ich bei mir als einzig in frage kommende Extremstelle 0 erhalte. Beim Zeichnen stellt sich jedoch heraus, dass diese irgendwo in der Nähe von - 0,2 liegt
Es wäre echt super, wenn sich jemand die Mühe machen könnte, und mir das StepByStep vorrechnen könnte!

mfg TVSPLT

PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lokales Extrema einer Funktion: Deine Rechnung?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Mi 10.09.2008
Autor: Loddar

Hallo TVSPLT,

[willkommenmr] !!


Ich erhalte ebenfalls als Extremwertkandidat:  [mm] $x_e [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\ln[\ln(2)]}{1+\ln(2)} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ -0.216$ .

Wie hast Du denn gerechnet? Bitte poste dazu mal Deine Rechenschritte.


Auf jeden Fall ist es hier ratsam, den Term [mm] $0.5^x$ [/mm] in eine e-Funktion umzuformen.
Damit ergibt sich für die Ableitung:
$$f'(x) \ = \ [mm] \ln(0.5)*e^{x*\ln(0.5)}+e^x [/mm] \ = \ [mm] -\ln(2)*e^{-x*\ln(2)}+e^x$$ [/mm]

Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Lokales Extrema einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Mi 10.09.2008
Autor: TVSPLT

Aufgabe
Wo ist der Fehler?

Leider kann sowohl mein Firefox als auch mein Internetexplorer die Formeln nicht darstellen und somit kann ich die Antwortformel leider auch nicht entziffern. Jedoch hier sind meine Rechenschritte:
[mm] e^x [/mm] = - ln(0,5) * [mm] (0,5)^x [/mm]  | ln()
x = ln(-1) * ln(ln(0,5)) * ln [mm] (0,5^x) [/mm]
x = ln(-1) * ln(ln(0,5)) * ln (0,5) * x
x - x * ln(-1) * ln(ln(0,5)) * ln (0,5) = 0
x(1 - ln(-1) * ln(ln(0,5)) * ln (0,5)) = 0
x = 0  oder  (1 - ln(-1) * ln(ln(0,5)) * ln (0,5)) = 0
x = 0

Bezug
                        
Bezug
Lokales Extrema einer Funktion: Logarithmus
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 Mi 10.09.2008
Autor: Loddar

Hallo TVSPLT!


Du musst schon den MBLogarithmus auf die gesamte rechte Seite der Gleichung anwenden und nicht für jeden Faktor einzeln!
Denn spätestens bei [mm] $\ln(-1)$ [/mm] hättest Du doch misstrauisch werden müssen, da Logarithmen nur für positive Zahlen definiert sind.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
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Lokales Extrema einer Funktion: Was dann?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Mi 10.09.2008
Autor: TVSPLT

Gut, das sehe ich. Jedoch habe ich hier eigentlich einen Schritt übersprungen. Natürlich habe ich den ln auf die komplette Seite angewand, dann aber nach log-Gesetzt aufgeteilt. Das ln(-1) nicht definiert ist, ok!
Wie soll ich das den stattdessen lösen?
Bitte eine Antwort normal-text-formel, wegen dem Problem mit den Bildern!

mfg TVSPLT

Bezug
                                        
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Lokales Extrema einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:44 Mi 10.09.2008
Autor: TVSPLT

Sry, natürlich bitte ich um eine Reatkion

Bezug
                                        
Bezug
Lokales Extrema einer Funktion: Logarithmusgesetze
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Mi 10.09.2008
Autor: Loddar

Hallo TVSPLT!


Forme zunächst einmal um: -ln(0.5)  = ln(2) .

Und anschließend musst Du das entsprechende MBLogarithmusgesetz auch korrekt anwenden:
log(a · b) = log(a) + log(b)


Gruß
Loddar


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Lokales Extrema einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:48 Mi 10.09.2008
Autor: TVSPLT

OK, dankeschön!
Das wird sicher klappen!!

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