Lokale Extrema von Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Di 09.07.2013 | | Autor: | Dajohre |
| Aufgabe | Untersuchen Sie
[mm] f(x_{1},x_{2})= 2x^{4}_{1}-x^{2}_{1}+x^{4}_{2}-2x^{2}_{2}
[/mm]
auf lokale Extrema und Sattelpunkte. Prüfen Sie, ob es sich gegebenenfalls um ein Maximum
oder Minimum handelt und geben Sie auch den Funktionswert an. |
Mein Ansatz zur Ausrechnung der Extremstellen wäre,
die Partiellen Ableitungen gleich 0 zu setzen.
Dann sucht man die Nullstellen und bestimmt die Hessematrix aus der 2. Ableitung
und schaut ob sie positiv,negativ oder indefinit ist.
Bisher habe ich folgendes gerechnet:
[mm] \delta x_{1}f(x_{1},x_{2})= x_{1}(8x^{2}_{1}-2)=0
[/mm]
Mit abc Formel:
[mm] x_{1}= \pm \bruch{8}{18}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \delta x_{1}f(x_{1},x_{2})=0 [/mm] für [mm] x_{1}=0 [/mm] und [mm] x_{1}= \pm \bruch{8}{18}
[/mm]
[mm] \delta x_{2}f(x_{1},x_{2})= x_{2}(4x^{2}_{2}-4)=0
[/mm]
Mit abc Formel:
[mm] x_{2}= \pm [/mm] 1
[mm] \Rightarrow \delta x_{2}f(x_{1},x_{2})=0 [/mm] für [mm] x_{2}=0 [/mm] und [mm] x_{2}= \pm [/mm] 1
Meine Fragen wären also:
Habe ich bisher richtig gerechnet?
Falls ja:
Wie komme ich mit diesen 6 Punkten auf die Extremstellen?
Falls nein:
Wo habe ich Fehler/Denkfehler in meiner Rechnung und vorgehensweise?
Bin für jede Hilfe sehr dankbar.
PS:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Untersuchen Sie
>
> [mm]f(x_{1},x_{2})= 2x^{4}_{1}-x^{2}_{1}+x^{4}_{2}-2x^{2}_{2}[/mm]
>
> auf lokale Extrema und Sattelpunkte. Prüfen Sie, ob es
> sich gegebenenfalls um ein Maximum
> oder Minimum handelt und geben Sie auch den Funktionswert
> an.
> Mein Ansatz zur Ausrechnung der Extremstellen wäre,
> die Partiellen Ableitungen gleich 0 zu setzen.
> Dann sucht man die Nullstellen und bestimmt die
> Hessematrix aus der 2. Ableitung
> und schaut ob sie positiv,negativ oder indefinit ist.
>
> Bisher habe ich folgendes gerechnet:
>
> [mm]\delta x_{1}f(x_{1},x_{2})= x_{1}(8x^{2}_{1}-2)=0[/mm]
>
> Mit abc Formel:
>
> [mm]x_{1}= \pm \bruch{8}{18}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \delta x_{1}f(x_{1},x_{2})=0[/mm] für [mm]x_{1}=0[/mm] und
> [mm]x_{1}= \pm \bruch{8}{18}[/mm]
>
Die Lösung [mm] x_1=0 [/mm] ist richtig, die beiden anderen musst du nochmal nachrechnen. Die resultieren ja aus der Klammer, welche zwei ziemlich ersichtliche Lösungen liefert...
>
> [mm]\delta x_{2}f(x_{1},x_{2})= x_{2}(4x^{2}_{2}-4)=0[/mm]
>
> Mit abc Formel:
>
> [mm]x_{2}= \pm[/mm] 1
>
> [mm]\Rightarrow \delta x_{2}f(x_{1},x_{2})=0[/mm] für [mm]x_{2}=0[/mm] und
> [mm]x_{2}= \pm[/mm] 1
>
Hier sind deine Lösungen korrekt.
>
> Meine Fragen wären also:
>
> Habe ich bisher richtig gerechnet?
>
> Falls ja:
> Wie komme ich mit diesen 6 Punkten auf die Extremstellen?
Welche sechs Punkte? 
Und: vier davon fliegen aus der Suche gleich mal raus. Mache dir nochmal die notwendige Bedingung für innere Extrema im mehrdimensionalen Fall klar!
> Falls nein:
> Wo habe ich Fehler/Denkfehler in meiner Rechnung und
> vorgehensweise?
Wie gesagt, beim Nullsetzen der Ableitung nach [mm] x_1 [/mm] ist dir ein Fehler unterlaufen. Rechne das nochmal nach, obwohl da kein Kandidat für ein Extremum herauskommt.
Es bleibt einzig der Funktionswert f(0,0) zu untersuchen...
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Di 09.07.2013 | | Autor: | Dajohre |
Habs gerade gemerkt.
Die Nullstellen von [mm] \delta x_{1}f(x_{1},x_{2})= x_{1}(8x^{2}_{1}-2)=0 [/mm] sind natürlich 0 und [mm] \pm \bruch{1}{2}
[/mm]
Meines Wissens ist die notwendige Bedingung für innere Extrema im mehrdimensionalen Fall:
[mm] grad(f(x_{1},x_{2}))= \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Ist das aber nicht auch für z.B. { [mm] \bruch{1}{2},0 [/mm] } und {0,1} gegeben?
In der Aufgabenstellung ist ja auch nach Sattelpunkten gefragt,
sind dann nicht alle Punkte die dieses Kriterium erfüllen von Interesse?
Meine Hessematrix wäre:
[mm] \pmat{ 24x^{2}_{1}-2 & 0 \\ 0 & 12x^{2}_{2}-4 }
[/mm]
falls nur f(0,0) von Interesse ist, dann ist es wohl ein Sattelpunkt, da
[mm] \pmat{ -2 & 0 \\ 0 & -4 } [/mm] indefinit ist.
Meine Fragen wären also:
Warum fällt alles bis auf f(0,0) weg?
Ist meine Rechnung soweit richtig?
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Hallo,
> Habs gerade gemerkt.
> Die Nullstellen von [mm]\delta x_{1}f(x_{1},x_{2})= x_{1}(8x^{2}_{1}-2)=0[/mm]
> sind natürlich 0 und [mm]\pm \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Meines Wissens ist die notwendige Bedingung für innere
> Extrema im mehrdimensionalen Fall:
>
> [mm]grad(f(x_{1},x_{2}))= \vektor{0 \\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Ist das aber nicht auch für z.B. { [mm]\bruch{1}{2},0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} und
> {0,1} gegeben?
> In der Aufgabenstellung ist ja auch nach Sattelpunkten
> gefragt,
> sind dann nicht alle Punkte die dieses Kriterium erfüllen
> von Interesse?
>
> Meine Hessematrix wäre:
>
> [mm]\pmat{ 24x^{2}_{1}-2 & 0 \\ 0 & 12x^{2}_{2}-4 }[/mm]
>
> falls nur f(0,0) von Interesse ist, dann ist es wohl ein
> Sattelpunkt, da
>
> [mm]\pmat{ -2 & 0 \\ 0 & -4 }[/mm] indefinit ist.
>
>
> Meine Fragen wären also:
>
> Warum fällt alles bis auf f(0,0) weg?
>
> Ist meine Rechnung soweit richtig?
Dass die anderen Punkte wegfallen war ein Irrtum meinerseits, sorry. Deine Hessematrix ist richtig, jedoch ist diese IMO in (0,0) nicht indefinit sondern negativ semidefinit, so dass keine Aussage über die Art des Punktes möglich ist.
Ansonsten ist jetzt alles richtig, es sind jedoch nicht 6 sondern 9 Punkte, die du untersuchen musst.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Di 09.07.2013 | | Autor: | Dajohre |
Hatte einen Denkfehler. Natürlich ist [mm] P_{1}= [/mm] (0,0) negativ definit.
Warum aber negativ semidefinit? (Keiner der Eigenwerte ist 0 ({-2},{8} sind die Eigenwerte))
[mm] P_{1}= [/mm] (0,0)
[mm] \pmat{ -2 & 0 \\ 0 & -4 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] negativ definit [mm] \Rightarrow [/mm] Maximum
[mm] P_{2}= [/mm] (0,1)
[mm] \pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 8 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] indefinit [mm] \Rightarrow [/mm] Sattelpunkt
[mm] P_{3}= [/mm] (0,-1)
[mm] \pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 8 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] indefinit [mm] \Rightarrow [/mm] Sattelpunkt
[mm] P_{4}= (\bruch{1}{2},0)
[/mm]
[mm] \pmat{ 4 & 0 \\ 0 & -4 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] indefinit [mm] \Rightarrow [/mm] Sattelpunkt
[mm] P_{5}= (\bruch{1}{2},1)
[/mm]
[mm] \pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 8 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] positiv definit [mm] \Rightarrow [/mm] Minimum
[mm] P_{6}= (\bruch{1}{2},-1)
[/mm]
[mm] \pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 8 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] positiv definit [mm] \Rightarrow [/mm] Minimum
[mm] P_{7}= (-\bruch{1}{2},0)
[/mm]
[mm] \pmat{ 4 & 0 \\ 0 & -4 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] indefinit [mm] \Rightarrow [/mm] Sattelpunkt
[mm] P_{8}= (-\bruch{1}{2},1)
[/mm]
[mm] \pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 8 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] positiv definit [mm] \Rightarrow [/mm] Minimum
[mm] P_{9}= (-\bruch{1}{2},-1)
[/mm]
[mm] \pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 8 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] positiv definit [mm] \Rightarrow [/mm] Minimum
Stimmt das soweit oder habe ich wieder einen Denkfehler drin?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Di 09.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hatte einen Denkfehler. Natürlich ist [mm]P_{1}=[/mm] (0,0) negativ
> definit.
> Warum aber negativ semidefinit? (Keiner der Eigenwerte ist
> 0 ({-2},{8} sind die Eigenwerte))
>
> [mm]P_{1}=[/mm] (0,0)
>
> [mm]\pmat{ -2 & 0 \\ 0 & -4 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] negativ definit [mm]\Rightarrow[/mm] Maximum
>
>
> [mm]P_{2}=[/mm] (0,1)
>
> [mm]\pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 8 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] indefinit [mm]\Rightarrow[/mm] Sattelpunkt
>
>
> [mm]P_{3}=[/mm] (0,-1)
>
> [mm]\pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 8 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] indefinit [mm]\Rightarrow[/mm] Sattelpunkt
>
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> [mm]P_{4}= (\bruch{1}{2},0)[/mm]
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> [mm]\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & -4 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] indefinit [mm]\Rightarrow[/mm] Sattelpunkt
>
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> [mm]P_{5}= (\bruch{1}{2},1)[/mm]
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> [mm]\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 8 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] positiv definit [mm]\Rightarrow[/mm] Minimum
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> [mm]P_{6}= (\bruch{1}{2},-1)[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 8 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] positiv definit [mm]\Rightarrow[/mm] Minimum
>
>
> [mm]P_{7}= (-\bruch{1}{2},0)[/mm]
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> [mm]\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & -4 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] indefinit [mm]\Rightarrow[/mm] Sattelpunkt
>
>
> [mm]P_{8}= (-\bruch{1}{2},1)[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 8 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] positiv definit [mm]\Rightarrow[/mm] Minimum
>
>
> [mm]P_{9}= (-\bruch{1}{2},-1)[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 8 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] positiv definit [mm]\Rightarrow[/mm] Minimum
>
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>
> Stimmt das soweit
Ja
FRED
> oder habe ich wieder einen Denkfehler
> drin?
>
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