Lokale Extrema der Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist folgende Funktion $f(x,y) = [mm] -e^x(x+y^2+2y)$ [/mm]
a) Bestimmen Sie die Richtung des steilsten Anstiegs im Punkt $P(1,1)$
b) Bestimmen Sie die lokalen Extrema von f. |
Hallo zusammen,
ich habe für
a)
[mm] $f_x [/mm] = [mm] -e^x(x+y^2+2y)-e^x*1 [/mm] = [mm] -e^x(x+y^2+2y+1)$
[/mm]
[mm] $f_y =e^x(2y+2)$
[/mm]
womit der $grad f [mm] =\vektor{f_x\\f_y}$ [/mm] ist. Für den Punkt $P(1,1)$ ergibt dies bei mir: [mm] $\vektor{-5e\\4e}$
[/mm]
b)
ich habe bestimmt:
[mm] $f_{xx} [/mm] = [mm] -e^x(x+y^2+2y+1)-e^x*1 [/mm] = [mm] -e^x(x+y^2+2y+1)$
[/mm]
[mm] $f_{xy} [/mm] = [mm] -e^x(2y+2) [/mm] $
[mm] $f_{yy} [/mm] = [mm] -2e^x$
[/mm]
aus [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] bekomme ich als Extrempunkte:
[mm] e_1=(-1,-2), e_2=(-1,0) [/mm] und [mm] e_{3,4}=(0,-1)
[/mm]
Dann habe ich diese in f eingesetzt, um die stationären Punkte [mm] p_i [/mm] zu ermitteln:
[mm] f(p_i) [/mm] = [mm] (f_x(p_i), f_y(p_i))
[/mm]
[mm] f(p_1)=(0,-2/e)
[/mm]
[mm] f(p_2)=(2/e,2/e)
[/mm]
[mm] f(p_{3,4})=(0,0)
[/mm]
Dann habe ich D aufgestellt:
$D = [mm] \vmat{-e^x(x+y^2+2y+1) & -e^x(2y+2) \\ -e^x(2y+2) & -2e^x} [/mm] $
das [mm] -e^x [/mm] ausgeklammert:
$D = [mm] -e^x \cdot \vmat{x+y^2+2y+1 & 2y+2 \\2y+2 & -2} [/mm] $
Muß ich nun die stationären Punkte [mm] p_{1..3} [/mm] in D einsetzen um zu bestimmen, ob es Min, Max oder Sattelpunkte sind?
Danke.
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Hallo Geisterhund,
> Gegeben ist folgende Funktion [mm]f(x,y) = -e^x(x+y^2+2y)[/mm]
> a) Bestimmen Sie die Richtung des steilsten Anstiegs im
> Punkt [mm]P(1,1)[/mm]
> b) Bestimmen Sie die lokalen Extrema von f.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe für
>
> a)
> [mm]f_x = -e^x(x+y^2+2y)-e^x*1 = -e^x(x+y^2+2y+1)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]f_y =e^x(2y+2)[/mm]
Hier hast du ein Vorzeichen verschlabbert ...
> womit der [mm]grad f =\vektor{f_x\\f_y}[/mm] ist. Für den Punkt
> [mm]P(1,1)[/mm] ergibt dies bei mir: [mm]\vektor{-5e\\4e}[/mm]
Fast, behebe den VZF bei [mm] $f_y$, [/mm] dann passt es ...
>
> b)
> ich habe bestimmt:
> [mm]f_{xx} = -e^x(x+y^2+2y+1)-e^x*1 [/mm]
> [mm] = -e^x(x+y^2+2y+\red{1})[/mm]
Da muss doch [mm] $+\red{2}$ [/mm] stehen!
Da die nächste Ableitung stimmt, tippe ich auf Tippfehler 
> [mm]f_{xy} = -e^x(2y+2)[/mm]
>
> [mm]f_{yy} = -2e^x[/mm]
Hier ist das "-" wieder da ...
>
> aus [mm]f_x[/mm] und [mm]f_y[/mm] bekomme ich als Extrempunkte:
> [mm]e_1=(-1,-2), e_2=(-1,0)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die ersten beiden stimmen nicht.
Damit [mm] $f_y(x,y)=0$ [/mm] wird, muss doch $2y+2=0$, also $y=-1$ sein ...
> und [mm]e_{3,4}=(0,-1)[/mm]
>
> Dann habe ich diese in f eingesetzt, um die stationären
> Punkte [mm]p_i[/mm] zu ermitteln:
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
einziger stat. Punkt ist $(0,-1)$, das hast du doch (wie auch immer) berechnet ...
Nun die Hessematrix im Punkt [mm] $(x_0,y_0)=(0,-1)$ [/mm] auswerten, das ist
[mm] $H_f(0,-1)=\pmat{-1&0\\0&-2}$, [/mm] wenn ich mich auf die Schnelle nicht verguckt habe.
Rechne lieber mal nach ...
> [mm]f(p_i)[/mm] = [mm](f_x(p_i), f_y(p_i))[/mm]
>
> [mm]f(p_1)=(0,-2/e)[/mm]
> [mm]f(p_2)=(2/e,2/e)[/mm]
> [mm]f(p_{3,4})=(0,0)[/mm]
>
> Dann habe ich D aufgestellt:
> [mm]D = \vmat{-e^x(x+y^2+2y+1) & -e^x(2y+2) \\ -e^x(2y+2) & -2e^x}[/mm]
>
> das [mm]-e^x[/mm] ausgeklammert:
> [mm]D = -e^x \cdot \vmat{x+y^2+2y+1 & 2y+2 \\2y+2 & -2}[/mm]
>
> Muß ich nun die stationären Punkte [mm]p_{1..3}[/mm] in D
> einsetzen um zu bestimmen, ob es Min, Max oder Sattelpunkte
> sind?
Untersuche die obige Hessematrix im Punkt $(0,-1)$ auf Definitheit ...
>
> Danke.
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
erst einmal Dank! Ich habe jetzt nochmal nachgerechnet und komme auf [mm] $e_1=(0,-1)$ [/mm] als einzigen stationären Punkt. Dann habe ich die Determinante der Hessematrix bestimmt und komme hier auf 2, als $D > 0$. Da [mm] $f_{xx} [/mm] < 0$ ist dies also ein lokales Maximum. Stimmt das?
Vielen Dank.
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> Hallo,
>
> erst einmal Dank! Ich habe jetzt nochmal nachgerechnet und
> komme auf [mm]e_1=(0,-1)[/mm] als einzigen stationären Punkt. Dann
> habe ich die Determinante der Hessematrix bestimmt und
> komme hier auf 2, als [mm]\red{det}D\red{(0,-1)} > 0[/mm]. Da [mm]f_{xx}\red{(0,-1)} < 0[/mm] ist dies also
> ein lokales Maximum. Stimmt das?
Hallo,
ja, richtig.
Gruß v. Angela
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