Lokale Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man bestimme die (lokalen) Extrema von: f(x,y) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{y} [/mm] + xy |
Mein Lösungsansatz:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=y-\bruch{1}{x^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=x-\bruch{1}{y^2}
[/mm]
Und wenn ich das Null setzte, bekomme ich:
[mm] y-\bruch{1}{x^2} [/mm] = 0
[mm] x-\bruch{1}{y^2} [/mm] = 0
Wie löse ich jetzt dieses Gleichungsystem, damit ich die stationären Punkte erhalte?
Danke!
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Hi mtu,
mit der ersten Gleichung ist doch [mm] y=\frac{1}{x^2}
[/mm]
Das in die zweite eingesetzt, ergibt: [mm] x-\frac{1}{\left(\frac{1}{x^2}\right)^2}=0\gdw x-x^4=0\gdw x(1-x^3)=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x=0 [mm] \vee [/mm] x=1
Damit berchne y
LG
schachuzipus
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Nunja für y bekomme ich auch folgendes Ergebnis: y = 0 [mm] \vee [/mm] y = 1
Ich versuche jetzt mal die stationären Punkte zu ermitteln:
Für x=1:
P1(1,1), P2(1,-1)
Für x=0:
P3(0,0)
Für y=0;
P4(0,0)
Für y=1:
P5(1,1), P6(-1,1)
Für y=x=1:
Widerspruch!
Sind das nun alle stationären Punkte? Wie bekomme ich das lokale Extrema?
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Hi,
ui, ich sehe gerade bei der Definition der Funktion f, dass die ja wohl nur für [mm] (x,y)\ne [/mm] (0,0) so gilt.
Ich denke, der einzige stat. Punkt ist [mm] (x_0,y_0)=(1,1), [/mm] da nur für (1,1) sowohl
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(1,1) [/mm] als auch [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(1,1) [/mm] =0 ist
Ein mögliches Extremum bekommst du über die Determinante der Matrix
[mm] $A=\pmat{ \bruch{\partial^2 f}{\partial x\partial x}(1,1) & \bruch{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,1) \\ \bruch{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(1,1) & \bruch{\partial^2 f}{\partial y\partial y}(1,1) }$
[/mm]
f hat ein (relatives) Extremum, falls det(A)>0.
Es ist ein Minimum, falls [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x\partial x}(1,1)>0 [/mm] und ein Maximum, falls [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x\partial x}(1,1)<0
[/mm]
LG
schachuzipus
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Diese Matrix ist die Hesse-Matrix oder?
Ich bilde einmal die Ableitungen:
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^3}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y\partial y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{y^3}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x\partial y} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{x^3}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x\partial y} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{y^3}
[/mm]
Ist das so richtig?
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Hallo mathe-tu-münchen!
Deine Ableitungen stimmen nicht. Du musst bei [mm] $f_{xx}$ [/mm] die partielle Ableitung [mm] $f_x$ [/mm] nochmals nach $x_$ ableiten:
[mm] $f_x [/mm] \ = \ [mm] y-\bruch{1}{x^2}$ $\Rightarrow$ $f_{xx} [/mm] \ = \ [mm] 0+\bruch{2}{x^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{x^3}$
[/mm]
Du hast jeweils den Bruch [mm] $-\bruch{1}{x^2}$ [/mm] bzw. [mm] $-\bruch{1}{y^2}$ [/mm] falsch abgeleitet; denn Du unterschlägst noch den Faktor aus dem [mm] $x^{-\red{2}}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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die Ableitung nach x ist bei mir jedoch: [mm] f_x [/mm] \ = \ [mm] y-\bruch{1}{x^2} [/mm]
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Hallo mathe-tu-münchen!
Ups ... da habe ich tasächlich etwas durcheinander gewrofen. Es ist aber nunmehr korrigiert oben.
Aber auch [mm] $f_{xy}$ [/mm] bzw. [mm] $f_{yx}$ [/mm] stimmen noch nicht bei Dir. Da erhalte ich: [mm] $f_{xy} [/mm] \ = \ [mm] f_{yx} [/mm] \ = \ 1$
Gruß vom
Roadrunner
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alles klar,
also ich bekomme folgende Hesse-Matrix:
[mm] \begin{vmatrix}
\bruch{2}{x^3} & 1 \\
1 & \bruch{2}{y^3}
\end{vmatrix}
[/mm]
Nun den Punkt P(1/1) eingesetzt:
[mm] \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{vmatrix}
[/mm]
Die Determinante davon ist 3. Wie kann ich hier nun die Definitheit bestimmen, ohne die Eigenvektoren zu bestimmen. (Das wäre für diese 2x2 Matrix wohl zum mühsam!?)
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stimmte meine Vorgehensweise?
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Hiho,
da gibt es noch einen weiteren Satz:
Eine Matrix A ist positiv definit [mm] \gdw [/mm] <Ax,x> > 0 f.a. x [mm] \not= [/mm] 0;
Und das Skalarprodukt hier auszurechnen ist nicht schwer:
[mm]<\pmat{2 & 1 \\ 1 & 2}\vektor{x_1 \\ x_2},\vektor{x_1 \\ x_2}>[/mm]
[mm] = <\vektor{2x_1 + x_2 \\ x_1 + 2x_2},\vektor{x_1 \\x_2}>[/mm]
[mm] = (2x_1 + x_2)x_1 + (x_1 + 2x_2)x_2 [/mm]
[mm]= 2x_1^2 + x_2x_1 + x_1x_2 + 2x_2^2 [/mm]
[mm]= x_1^2 + (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) + x_2^2 [/mm]
[mm]= x_1^2 + (x_1 + x_2)^2 + x_2^2 > 0[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Matrix positiv definit.
MfG,
Gono.
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OK, also die Determinante ist größer als 0, d.h. hier liegt kein Sattelpunkt vor sondern ein Maximum oder eine Minimum ->
Ich untersuche also die Hauptminoren: det (2) > 0 und det(H) > 0 -> positiv definit, also habe ich ein relatives/lokales Minimum beim Punkt P (1/1)
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Jo das stimmt
es ist ja det>0 und [mm] f_{xx}(1,1)=2>0, [/mm] also rel. Minimum in (1,1)
steht aber oben schon irgendwo - soweit ich mich ewrinnere
LG
schachuzipus
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Ich habe noch bei zwei weiteren Funktionen Schwierigkeiten:
1)
f(x,y) = [mm] (x-y)^3
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)= 3(x-y)^2 [/mm] = 0
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)= -3(x-y)^2 [/mm] = 0
Ist dieses Gleichungssystem lösbar? Ich habe schon so einiges probiert und den quardatischen Ausdruck ausmultipliziert und komme auf keine Lösung?
2)
f(x,y) [mm] =x^2 [/mm] - [mm] (y-1)^2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)= [/mm] 2x = 0
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)= [/mm] -2(y-1) = 0
Daraus folgt x = 0 und y = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Aber wenn ich die Hesse-Matrix bilde, dann fallen die Variablen x und y bei der zweiten Ableitung weg und ich bekomme die Matrix:
[mm] \begin{vmatrix}
2 & 0 \\
0 & 0
\end{vmatrix}
[/mm]
Wie kann das zusammenpassen? Ich habe doch einen stationären Punkt ermittelt, aber kann nicht überprüfen, ob dies ein Sattelpunkt, ein Minimum oder ein Maximum ist, weil die Hesse-Matrix ja unabhängig von den Variablen x und y ist???
Danke!!!
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Hi mtu,
> 1)
>
> f(x,y) = [mm](x-y)^3[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)= 3(x-y)^2[/mm] = 0
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)= -3(x-y)^2[/mm] = 0
>
> Ist dieses Gleichungssystem lösbar? Ich habe schon so
> einiges probiert und den quardatischen Ausdruck
> ausmultipliziert und komme auf keine Lösung?
Ich denke schon, addiere mal die erste zur zweiten, dann hast du in der zweiten 0=0 und die erste Gleichung lösen alle (x,y) mit x=y
>
> 2)
>
> f(x,y) [mm]=x^2[/mm] - [mm](y-1)^2[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=[/mm] 2x = 0
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=[/mm] -2(y-1) = 0
>
> Daraus folgt x = 0 und y = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] -2(y-1)=0\gdw -2y+\red{2}=0\gdw [/mm] y=1
>
> Aber wenn ich die Hesse-Matrix bilde, dann fallen die
> Variablen x und y bei der zweiten Ableitung weg und ich
> bekomme die Matrix:
>
> [mm]\begin{vmatrix}
2 & 0 \\
0 & 0
\end{vmatrix}[/mm]
>
> Wie kann das zusammenpassen? Ich habe doch einen
> stationären Punkt ermittelt, aber kann nicht überprüfen, ob
> dies ein Sattelpunkt, ein Minimum oder ein Maximum ist,
> weil die Hesse-Matrix ja unabhängig von den Variablen x und
> y ist???
vermutlich wegen des Rechenfehlers, rechne mit y=1 nochmal neu, vllt. klappt's damit
> Danke!!!
>
jo
schachuzipus
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zu 1) Was ist das dann für ein stationärer Punkt? Das Gleichungsystem ist ja gelöst falls x = y, ist dann der stationäre Punkt P(x,x) - wie rechne ich damit weiter?
zu 2) Danke für die Korrektur, aber dieser Fehler ist doch nur beim Gleichungssystem passiert. Die Hessermatrix wird ja aus den zweiten Ableitungen gebildet und daran ändert sich trotz der Korrektur nichts, dass die x und y Variablen verschwinden!
hm....
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Hi
kurz zu (2)
ich habe für [mm] \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial y}=-2 [/mm] raus, also müsste die
Matrix doch so aussehen:
[mm] H=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -2 }
[/mm]
Also [mm] det(H)=-4<0\Rightarrow [/mm] ....
N8
schachuzipus
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zu 2) OK, aber auch wenn die Hesse-Matrix [mm] H=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -2 } [/mm] ist, kann ich keinen stationären Punkt einsetzen???
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
die Hesse-Matrix ist hier einfach für alle Punkte (x,y) konstant, also insbesondere auch für die stationären Punkte sieht sie so aus.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Fr 08.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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