Lokal Lipschitz => Stetigkeit < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie oder widerlegen Sie: Jede Funktion f : [mm] \IR [/mm] ^{2} [mm] \to \IR, [/mm] die in [mm] \IR [/mm] ^{2} lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, ist stetig. |
Ok, also lokal einer Lipschitz Bedingung genügt heißt dann ja es existiert ein L, so dass [mm] \parallel [/mm] f(x,y)-f(x,y') [mm] \parallel \le [/mm] L* [mm] \parallel [/mm] y-y' [mm] \parallel [/mm] wobei dass halt nur in einem bestimmten Intervall gilt, da es ja nur lokal ist. Stetigkeit heißt zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] \delta [/mm] >0, sodass gilt:
[mm] \parallel [/mm] (x,y) [mm] \parallel [/mm] _{2} < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x,y)|< [mm] \varepsilon
[/mm]
So jetzt habe ich aber keine Ahnung wie ich von dem einen zum andern kommen soll, besonders das Intervall in der lokalen Lipschitz Stetigkeit stört mich.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Di 12.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie oder widerlegen Sie: Jede Funktion f : [mm]\IR[/mm]
> ^{2} [mm]\to \IR,[/mm] die in [mm]\IR[/mm] ^{2} lokal einer
> Lipschitz-Bedingung genügt, ist stetig.
> Ok, also lokal einer Lipschitz Bedingung genügt heißt
> dann ja es existiert ein L, so dass [mm]\parallel[/mm]
> f(x,y)-f(x,y') [mm]\parallel \le[/mm] L* [mm]\parallel[/mm] y-y' [mm]\parallel[/mm]
> wobei dass halt nur in einem bestimmten Intervall gilt, da
> es ja nur lokal ist.
sowas musst Du sauber schreiben:
Es gilt: Für festes [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] gibt es eine [mm] $\IR^2$-Umgebung [/mm] von [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] so, dass
bzgl. [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] ein [mm] $L\,$ [/mm] (für später: o.E. $L > [mm] 0\,$) [/mm] existiert mit
[mm] $|f(x_0,y_0)-f(x,y)| \le L*|y_0-y|$ [/mm] für alle $(x,y)$ aus dieser [mm] $(x_0,y_0)$-Umgebung!
[/mm]
Wobei ich das anders kenne (aber irgendwo in der Numerik benutzt man
das so, wie Du es geschrieben hast) - ich kenne es so, dass rechterhand
[mm] $\|(x_0,y_0)-(x,y)\|$ [/mm] steht!
> Stetigkeit
in [mm] $(x_0,y_0)$
[/mm]
> heißt zu jedem
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert ein [mm]\delta[/mm] >0
das zudem auch von [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] abhängen darf!
> , sodass gilt:
> [mm]\parallel[/mm] (x,y) [mm]\parallel[/mm] _{2} < [mm]\delta \Rightarrow[/mm]
> |f(x,y)|< [mm]\varepsilon[/mm]
Ne:
[mm] $\|(x,y)\red{\;-\;(x_0,y_0)}\| [/mm] < [mm] \delta$ $\Rightarrow$ $|f(x,y)\red{\;-\;f(x_0,y_0)}| [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$
[/mm]
Deines stimmt nur, falls [mm] $x_0=0=y_0$ [/mm] und zudem [mm] $f(0,0)=0\,$ [/mm] gilt!
> So jetzt habe ich aber keine Ahnung wie ich von dem einen
> zum andern kommen soll, besonders das Intervall in der
> lokalen Lipschitz Stetigkeit stört mich.
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Wegen der lokalen Lipschitzstetigkeit gibt es ein $p > [mm] 0\,$ [/mm] und
ein [mm] $L\,$ [/mm] so, dass für alle $(x,y)$ mit [mm] $\|(x,y)-(x_0,y_0)\| [/mm] < p$ folgt
[mm] $|f(x,y)-f(x_0,y_0)| \;\le\; L*|y-y_0|$ [/mm] (oder halt [mm] $\le\;\|(x,y)-(x_0,y_0)\|$)
[/mm]
Also
[mm] $|f(x,y)-f(x_0,y_0)|\;\le\;L*|y-y_0|\;\le\;L*\|(x,y)-(x_0,y_0)\| \le L*p\,.$
[/mm]
für alle $(x,y)$ mit [mm] $\|(x,y)-(x_0,y_0)\|\;<\;p\,.$
[/mm]
Nun kannst Du aber o.E.
($0 [mm] \,<$) [/mm] $p [mm] \le \varepsilon/(2L)$
[/mm]
annehmen (wobei wir oben dann auch o.E. $L > [mm] 0\,$ [/mm] annehmen können).
Dann...?
(Oder setze halt
[mm] $\delta:=\min\{p,\;\varepsilon/(2L)\}$
[/mm]
an...)
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Beweisen Sie oder widerlegen Sie: Jede Funktion f : [mm]\IR[/mm]
> > ^{2} [mm]\to \IR,[/mm] die in [mm]\IR[/mm] ^{2} lokal einer
> > Lipschitz-Bedingung genügt, ist stetig.
> > Ok, also lokal einer Lipschitz Bedingung genügt heißt
> > dann ja es existiert ein L, so dass [mm]\parallel[/mm]
> > f(x,y)-f(x,y') [mm]\parallel \le[/mm] L* [mm]\parallel[/mm] y-y' [mm]\parallel[/mm]
> > wobei dass halt nur in einem bestimmten Intervall gilt, da
> > es ja nur lokal ist.
>
> sowas musst Du sauber schreiben:
>
> Es gilt: Für festes [mm](x_0,y_0)[/mm] gibt es eine [mm]\IR^2[/mm]-Umgebung
> von [mm](x_0,y_0)[/mm] so, dass
> bzgl. [mm](x_0,y_0)[/mm] ein [mm]L\,[/mm] (für später: o.E. [mm]L > 0\,[/mm])
> existiert mit
>
> [mm]|f(x_0,y_0)-f(x,y)| \le L*|y_0-y|[/mm] für alle [mm](x,y)[/mm] aus
> dieser [mm](x_0,y_0)[/mm]-Umgebung!
>
> Wobei ich das anders kenne (aber irgendwo in der Numerik
> benutzt man
> das so, wie Du es geschrieben hast) - ich kenne es so,
> dass rechterhand
> [mm]\|(x_0,y_0)-(x,y)\|[/mm] steht!
>
> > Stetigkeit
>
> in [mm](x_0,y_0)[/mm]
>
> > heißt zu jedem
> > [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert ein [mm]\delta[/mm] >0
>
> das zudem auch von [mm](x_0,y_0)[/mm] abhängen darf!
>
> > , sodass gilt:
> > [mm]\parallel[/mm] (x,y) [mm]\parallel[/mm] _{2} < [mm]\delta \Rightarrow[/mm]
> > |f(x,y)|< [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Ne:
>
> [mm]\|(x,y)\red{\;-\;(x_0,y_0)}\| < \delta[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]|f(x,y)\red{\;-\;f(x_0,y_0)}| < \varepsilon\,.[/mm]
>
> Deines stimmt nur, falls [mm]x_0=0=y_0[/mm] und zudem [mm]f(0,0)=0\,[/mm]
> gilt!
>
> > So jetzt habe ich aber keine Ahnung wie ich von dem einen
> > zum andern kommen soll, besonders das Intervall in der
> > lokalen Lipschitz Stetigkeit stört mich.
>
> Sei [mm]\varepsilon > 0\,.[/mm] Wegen der lokalen
> Lipschitzstetigkeit gibt es ein [mm]p > 0\,[/mm] und
> ein [mm]L\,[/mm] so, dass für alle [mm](x,y)[/mm] mit [mm]\|(x,y)-(x_0,y_0)\| < p[/mm]
> folgt
>
> [mm]|f(x,y)-f(x_0,y_0)| \;\le\; L*|y-y_0|[/mm] (oder halt
> [mm]\le\;\|(x,y)-(x_0,y_0)\|[/mm])
>
> Also
>
> [mm]|f(x,y)-f(x_0,y_0)|\;\le\;L*|y-y_0|\;\le\;L*\|(x,y)-(x_0,y_0)\| \le L*p\,.[/mm]
>
> für alle [mm](x,y)[/mm] mit [mm]\|(x,y)-(x_0,y_0)\|\;<\;p\,.[/mm]
>
> Nun kannst Du aber o.E.
>
> ([mm]0 \,<[/mm]) [mm]p \le \varepsilon/(2L)[/mm]
>
> annehmen (wobei wir oben dann auch o.E. [mm]L > 0\,[/mm] annehmen
> können).
> Dann...?
> (Oder setze halt
>
> [mm]\delta:=\min\{p,\;\varepsilon/(2L)\}[/mm]
>
> an...)
>
> Gruß,
> Marcel
Dann folgt aus [mm]\delta:=\min\{p,\;\varepsilon/(2L)\}[/mm]
[mm] |f(x,y)-f(x_0,y_0)| \le [/mm] L* [mm] \bruch{ \varepsilon }{2L}= \bruch{ \varepsilon }{L}.
[/mm]
Also gibt es zu unserem Delta immer ein [mm] \varepsilon [/mm] sodass [mm] |f(x,y)-f(x_0,y_0)| \le \varepsilon
[/mm]
Stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Beweisen Sie oder widerlegen Sie: Jede Funktion f : [mm]\IR[/mm]
> > > ^{2} [mm]\to \IR,[/mm] die in [mm]\IR[/mm] ^{2} lokal einer
> > > Lipschitz-Bedingung genügt, ist stetig.
> > > Ok, also lokal einer Lipschitz Bedingung genügt
> heißt
> > > dann ja es existiert ein L, so dass [mm]\parallel[/mm]
> > > f(x,y)-f(x,y') [mm]\parallel \le[/mm] L* [mm]\parallel[/mm] y-y' [mm]\parallel[/mm]
> > > wobei dass halt nur in einem bestimmten Intervall gilt, da
> > > es ja nur lokal ist.
> >
> > sowas musst Du sauber schreiben:
> >
> > Es gilt: Für festes [mm](x_0,y_0)[/mm] gibt es eine [mm]\IR^2[/mm]-Umgebung
> > von [mm](x_0,y_0)[/mm] so, dass
> > bzgl. [mm](x_0,y_0)[/mm] ein [mm]L\,[/mm] (für später: o.E. [mm]L > 0\,[/mm])
> > existiert mit
> >
> > [mm]|f(x_0,y_0)-f(x,y)| \le L*|y_0-y|[/mm] für alle [mm](x,y)[/mm] aus
> > dieser [mm](x_0,y_0)[/mm]-Umgebung!
> >
> > Wobei ich das anders kenne (aber irgendwo in der Numerik
> > benutzt man
> > das so, wie Du es geschrieben hast) - ich kenne es so,
> > dass rechterhand
> > [mm]\|(x_0,y_0)-(x,y)\|[/mm] steht!
> >
> > > Stetigkeit
> >
> > in [mm](x_0,y_0)[/mm]
> >
> > > heißt zu jedem
> > > [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert ein [mm]\delta[/mm] >0
> >
> > das zudem auch von [mm](x_0,y_0)[/mm] abhängen darf!
> >
> > > , sodass gilt:
> > > [mm]\parallel[/mm] (x,y) [mm]\parallel[/mm] _{2} < [mm]\delta \Rightarrow[/mm]
> > > |f(x,y)|< [mm]\varepsilon[/mm]
> >
> > Ne:
> >
> > [mm]\|(x,y)\red{\;-\;(x_0,y_0)}\| < \delta[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> > [mm]|f(x,y)\red{\;-\;f(x_0,y_0)}| < \varepsilon\,.[/mm]
> >
> > Deines stimmt nur, falls [mm]x_0=0=y_0[/mm] und zudem [mm]f(0,0)=0\,[/mm]
> > gilt!
> >
> > > So jetzt habe ich aber keine Ahnung wie ich von dem einen
> > > zum andern kommen soll, besonders das Intervall in der
> > > lokalen Lipschitz Stetigkeit stört mich.
> >
> > Sei [mm]\varepsilon > 0\,.[/mm] Wegen der lokalen
> > Lipschitzstetigkeit gibt es ein [mm]p > 0\,[/mm] und
> > ein [mm]L\,[/mm] so, dass für alle [mm](x,y)[/mm] mit [mm]\|(x,y)-(x_0,y_0)\| < p[/mm]
> > folgt
> >
> > [mm]|f(x,y)-f(x_0,y_0)| \;\le\; L*|y-y_0|[/mm] (oder halt
> > [mm]\le\;\|(x,y)-(x_0,y_0)\|[/mm])
> >
> > Also
> >
> >
> [mm]|f(x,y)-f(x_0,y_0)|\;\le\;L*|y-y_0|\;\le\;L*\|(x,y)-(x_0,y_0)\| \le L*p\,.[/mm]
>
> >
> > für alle [mm](x,y)[/mm] mit [mm]\|(x,y)-(x_0,y_0)\|\;<\;p\,.[/mm]
> >
> > Nun kannst Du aber o.E.
> >
> > ([mm]0 \,<[/mm]) [mm]p \le \varepsilon/(2L)[/mm]
> >
> > annehmen (wobei wir oben dann auch o.E. [mm]L > 0\,[/mm] annehmen
> > können).
> > Dann...?
> > (Oder setze halt
> >
> > [mm]\delta:=\min\{p,\;\varepsilon/(2L)\}[/mm]
> >
> > an...)
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Dann folgt aus [mm]\delta:=\min\{p,\;\varepsilon/(2L)\}[/mm]
mal nebenbei: Warum ist [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0\,$?
[/mm]
> [mm]|f(x,y)-f(x_0,y_0)| \le[/mm] L* [mm]\bruch{ \varepsilon }{2L}= \bruch{ \varepsilon }{\red{L}}.[/mm]
Das letzte, rotmarkierte L ist zuviel. Das kürzt sich ja weg. Und da bleibt dann
am Ende [mm] $\le \varepsilon/2 [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] stehen. Und das ganze da gilt für alle [mm] $(x,y)\,$ [/mm] mit...?
> Also gibt es zu unserem Delta immer ein [mm]\varepsilon[/mm]
Umgekehrt (die [mm] $\varepsilon$-$\delta$-"Reihenfolge"): [/mm] Für festes [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] gilt, dass es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein
[mm] $\delta=\delta_{\varepsilon,\;(x_0,y_0)} [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] nämlich [mm] $\delta:=...$ [/mm] so gibt, dass...
> sodass
> [mm]|f(x,y)-f(x_0,y_0)| \le \varepsilon[/mm]
> Stimmt das so?
Ich sag' mal: Es geht gedanklich sicher in die richtige Richtung, aber schreibe
es nochmal sauber und vollständig auf! Du musst ja Deinen Korrektor überzeugen,
und der führt sicher keine Gespräche mit Dir, wo er so nach und nach Tipps gibt,
wenn er den Übungszettel korrigiert. 
Gruß,
Marcel
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Ja da hast du Recht ^^, ich glaube jetzt habe ich es auch, danke dir.
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Ah und Delta muss > 0 sein, da ja Delta entweder p oder epsilon/2L ist, und p ist positiv, epsilon ist positiv und L ist positiv daraus folgt dann wohl dass auch delta positiv sein muss, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ah und Delta muss > 0 sein, da ja Delta entweder p oder
> epsilon/2L ist,
aber bitte nur ein "oder", kein entweder oder. Besser sagst Du übrigens
(allgemeiner):
Ist [mm] $M\,$ [/mm] eine endliche Menge echt positiver Zahlen, so ist auch [mm] $\min [/mm] M$ echt positiv.
Sowas wird oft im ersten Semester gesagt (und von den meisten im 2. auch
schon wieder vergessen). Der Beweis dazu ist auch nicht schwer, aber
erstmal würde man beweisen, dass [mm] $\inf M=\min [/mm] M$ ist (hier braucht man die
"Endlichkeit" von [mm] $M\,,$ [/mm] also, dass [mm] $M\,$ [/mm] nur endlich viele Elemente hat!)...
> und p ist positiv, epsilon ist positiv und
> L ist positiv daraus folgt dann wohl dass auch delta
> positiv sein muss, oder?
Ja, das passt schon. Genaugenommen:
Die zweielementige Menge
[mm] $\{p,\;\varepsilon/(2L)\}$
[/mm]
enthält nur echt positive Zahlen (das kannst Du ja wie oben begründen),
also hat diese Menge, da sie eine endliche Menge ist, zum einen ein Minimum,
dass zum anderen auch echt positiv sein muss. Dieses war [mm] $\delta$ [/mm] per Definitionem
von [mm] $\delta\,,$ [/mm] also folgt [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Das sind übrigens nur "Schönheits-Operationen", damit man im Beweis
auch nicht den kleinsten Makel findet. (Viele würden sich gar nicht so
ausführlich damit beschäftigen, sondern da käm' einfach nur der Satz,
dass [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] ist, weil "Naja, das ist doch klar...". Ich frage mich bei solchen
Leuten, die das so sagen, aber oft, ob denen das auch wirklich klar ist;
denn wenn es klar ist, kann man es auch schnell ergänzen, warum das
klar ist.
Gruß,
Marcel
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Ja ehrlich gesagt, hätte ich wohl auch nicht dran gedacht, dass ich das noch sagen muss, weil es so offensichtlich scheint. Aber du hast natürlich Recht, eigentlich gehört es dazu, ich habe es jetzt auch ergänzt 
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