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| Aufgabe | | Finden sie die Basis b, für die gilt: [mm]log_b 16=log_6 36[/mm] |
Meine Überlegung ist recht simpel:
[mm]log_6 36=2[/mm] also folgt [mm]log_b 16=2[/mm] die dazugehörige Basis ist 4.
Aber gibt es dafür eine Lösung die mathematischer ist?
Beispielsweise:
[mm]6^x=36[/mm] und [mm]b^x=16[/mm]
daraus folgt: [mm]\bruch{b^x}{16}=\bruch{6^x}{36}[/mm]
=[mm]\bruch{b^x}{6^x}=\bruch{16}{36}[/mm]
=[mm](\bruch{6}{b})^x=2,25[/mm]
da x=2 ( [mm] log_6 36[/mm] ): [mm]b=\bruch{6}{\wurzel{2.25}}=4[/mm]
Oder ist das nicht zulässig, wegen dem x=2? Ich weiss die Frage klingt komisch, aber ich habe mit dem Logharitmus ziemliche Schwierigkeiten was so simple Sachen angeht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Finden sie die Basis b, für die gilt: [mm]log_b 16=log_6 36[/mm]
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> Meine Überlegung ist recht simpel:
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> [mm]log_6 36=2[/mm] also folgt [mm]log_b 16=2[/mm] die dazugehörige Basis ist
> 4.
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> Aber gibt es dafür eine Lösung die mathematischer ist?
Ja, ich denke man sollte es so machen:
[mm]\begin{array}{lcll}
\log_b 16 &=&\log_6 36 &\\
\log_b 16 &=& 2&\big| \mathrm{exp}_b\\
16 &=& b^2 &\big| \sqrt{\phantom{xx}}\\
4 &=& b
\end{array}
[/mm]
Da wir wissen, dass $b>0$ sein muss, kommt die zweite Lösung $-4$ der zweitletzten Gleichung nicht in Frage.
Bem: Mit [mm] $\mathrm{exp}_b:x\rightarrow b^x$ [/mm] bezeichne ich die Exponentialfunktion zur Basis $b$, also die Umkehrfunktion von [mm] $\log_b$. [/mm] Deshalb ist [mm] $\mathrm{exp}_b(\log_b(16))=16$.
[/mm]
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