Logarithmus Auslöschung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Di 02.04.2013 | | Autor: | JaykopX |
Hi, ich habe hier die Aufgage log(a+x) - log(x) mit x>>a und soll das nun so umformen, dass sich die beiden Terme nicht auslöschen.
Das ganze habe ich getestet mit a = 1E-6 und x = 1E6 und float Genauigkeit.
Meine 2 Ansätze:
log(a+x) = log(a) + [mm] log(1+\bruch{x}{a})
[/mm]
und
log(a+x) - log(x) = log((a+x)/x)
bringen mich nicht weiter. Im ersten Ansatz bekomme ich zwar log(a+x), dies ist aber mit log(x) identisch und führt dann wieder zur Auslöschung.
Im zweiten Ansatz, wird a so klein das ich log(1) = 0 rausbekomme.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Di 02.04.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hi, ich habe hier die Aufgage log(a+x) - log(x) mit x>>a
> und soll das nun so umformen, dass sich die beiden Terme
> nicht auslöschen.
> Das ganze habe ich getestet mit a = 1E-6 und x = 1E6 und
> float Genauigkeit.
Wofuer willst du das genau haben? Ist das eine Aufgabe in Numerik? Oder willst du das einfach ausrechnen, weil du es fuer etwas brauchst?
> Meine 2 Ansätze:
> log(a+x) = log(a) + [mm]log(1+\bruch{x}{a})[/mm]
>
> und
>
> log(a+x) - log(x) = log((a+x)/x)
Es ist [mm] $\log(a [/mm] + x) - [mm] \log(x) [/mm] = [mm] \log \frac{a + x}{x} [/mm] = [mm] \log(1 [/mm] + [mm] \frac{a}{x})$.
[/mm]
> Im zweiten Ansatz, wird a so klein das ich log(1) = 0
> rausbekomme.
Deswegen verwendet man zum Ausrechnen auch nicht log, sondern ![[]](/images/popup.gif) log1p, die einen in den meisten vernuenftigen Programmiersprachen zur Verfuegung gestellt wird.
Vielleicht beantwortet das deine Frage ja schon :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Di 02.04.2013 | | Autor: | JaykopX |
Hmm, danke erstmal für das log1p, ich denke aber das geht an dem Sinn der Übungsaufgabe vorbei :). Zudem hab ich grad nachgesehen und in meiner <math.h> für c++ gibt's das nicht :(.
Es ist eine Übungsaufgabe von einem Zettel in computational Physics von 2011. Man soll eine numerische Implementation finden, in welcher die Auslöschung vermieden wird, um zu lernen Rundungsfehler klein zu halten. Für 2 andere Aufgaben mit Wurzel, sin und cos konnte ich das Lösen aber beim log finde ich keinen geeigneten "Trick" um die Auslöschung abzustellen.
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Hallo JaykopX,
verwende die Reihenentwicklung [mm] \ln{(1+z)}=z-\bruch{1}{2}z^2+\bruch{1}{3}z^3-\bruch{1}{4}z^4\cdots
[/mm]
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Mi 03.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
enzwickle log(1+z) mit Taxlor um z=0
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:05 Mi 03.04.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hmm, danke erstmal für das log1p, ich denke aber das geht
> an dem Sinn der Übungsaufgabe vorbei :). Zudem hab ich
> grad nachgesehen und in meiner <math.h> für c++ gibt's das
> nicht :(.
Du musst in <cmath> schauen, dort ist es ab C++11 enthalten (siehe hier). Kann aber gut sein dass dein Compiler das noch nicht unterstuetzt (und wenn doch, musst du ihm wahrscheinlich explizit sagen, dass er es verwenden soll).
> Es ist eine Übungsaufgabe von einem Zettel in
> computational Physics von 2011. Man soll eine numerische
> Implementation finden, in welcher die Auslöschung
> vermieden wird, um zu lernen Rundungsfehler klein zu
> halten. Für 2 andere Aufgaben mit Wurzel, sin und cos
> konnte ich das Lösen aber beim log finde ich keinen
> geeigneten "Trick" um die Auslöschung abzustellen.
Ah. Du musst also nicht mit dem Logarithmus arbeiten. Sag das doch :)
Wie reverend und leduard schon schrieben, mach es so, wie log1p normalerweise implementiert wird: mit der Taylor-Entwicklung.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Mi 03.04.2013 | | Autor: | JaykopX |
Sehe ich das Richtig, dass ich bereits nach dem erstem Glied abbrechen kann, da die nächsten Glieder zu klein sind und sowieo wegfallen?
Und bekomme dann als Endergebnis
[mm] \ln\left(a + x\right) [/mm] - [mm] \ln(x) [/mm] = [mm] \ln \left(1 + \bruch{a}{x}\right) \approx \bruch{a}{x}, [/mm] für x >> a.
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Hallo JaykopX!
> Sehe ich das Richtig, dass ich bereits nach dem erstem
> Glied abbrechen kann, da die nächsten Glieder zu klein
> sind und sowieo wegfallen?
Als Näherung ist das so möglich. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und bekomme dann als Endergebnis
> [mm]\ln\left(a + x\right)[/mm] - [mm]\ln(x)[/mm] = [mm]\ln \left(1 + \bruch{a}{x}\right) \approx \bruch{a}{x},[/mm] für x >> a.
Wie gesagt: es ist eine gute Näherung für $x>>a_$ und es kann wie gefordert auch keine Auslöschung mehr stattfinden.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 Mi 03.04.2013 | | Autor: | JaykopX |
Vielen Dank an alle, die mir geholfen haben.
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