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Liebe Kollegen,
ich habe da folgende Aufgabe:
phi(x) = ln(x)
von((0,unendlich),*) [mm] \to [/mm] (R, +) / R ... reelle Zahlen
Diese Funktion ist auf Injektivität, Surjektivität und Isomorphie
zu untersuchen.
warum nimmt man hier(- laut Vorlesungsmitschrift)
phi(e^(x)) = ln(e^(x)) = x für alle x, woraus man erhält:
kern {phi_} = (1) ?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Do 15.08.2013 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich habe da folgende Aufgabe:
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> phi(x) = ln(x)
> von((0,unendlich),*) [mm]\to[/mm] (R, +) / R ... reelle Zahlen
> Diese Funktion ist auf Injektivität, Surjektivität und
> Isomorphie
> zu untersuchen.
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> warum nimmt man hier(- laut Vorlesungsmitschrift)
> phi(e^(x)) = ln(e^(x)) = x für alle x, woraus man
> erhält:
> kern {phi_} = (1) ?
Andere Frage: warum nicht?
Damit funktioniert es sehr einfach.
Du kannst natuerlich auch verwenden, dass [mm] $\ln$ [/mm] streng monoton steigend ist.
LG Felix
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Ich verstehe den Ansatz
phi(e^(x)) = ln(e^(x)) = x
leider immer noch nicht!!
liebe Grüße,
Andreas
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> Ich verstehe den Ansatz
> phi(e^(x)) = ln(e^(x)) = x
> leider immer noch nicht!!
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> liebe Grüße,
> Andreas
Hallo!
1. Kannst du bitte versuchen, den Formeleditor zu benutzen? Da kriegt man nämlich Augenkrebs von.
Was genau verstehst du hier denn nicht? Dass log die Umkehrfunktion von exp ist, ist dir aber bekannt? Daher gilt $ log(exp(x))=x $. Um den Kern von $ [mm] \varphi [/mm] $ zu bestimmen, suchst du Elemente $ [mm] y\in \IR_{+} [/mm] $ mit $ [mm] \varphi(y)=0 [/mm] $. Da $ exp $ bekanntlich surjektiv auf $ [mm] \IR_{+} [/mm] $ abbildet, kannst du annehmen, dass $ y=exp(x) $ ist. Dann aber gilt $ [mm] \varphi(y)=log(exp(x))=x=0 [/mm] $ also $ y=exp(0)=1 $, womit der Kern von [mm] \varphi [/mm] trivial ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Fr 16.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> Liebe Kollegen,
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> ich habe da folgende Aufgabe:
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> phi(x) = ln(x)
> von((0,unendlich),*) [mm]\to[/mm] (R, +) / R ... reelle Zahlen
> Diese Funktion ist auf Injektivität, Surjektivität und
> Isomorphie
> zu untersuchen.
>
> warum nimmt man hier(- laut Vorlesungsmitschrift)
> phi(e^(x)) = ln(e^(x)) = x für alle x, woraus man
> erhält:
> kern {phi_} = (1) ?
die Funktion [mm] $\phi$ [/mm] ist doch einfach ein Gruppenhomomorphismus zwischen den
Gruppen [mm] ($(0,\infty),*$) [/mm] und [mm] $(\IR,+)\,:$
[/mm]
[mm] $\forall [/mm] x,y > 0:$ [mm] $\phi(x*y)=\ln(x*y)=\ln(x)+\ln(y)=\phi(x)+\phi(y)\,.$
[/mm]
Und es gilt der Satz: Genau dann ist ein solcher Gruppenhomomorphismus
injektiv, wenn sein Kern trivial ist.
Genau letzteres wird nachgerechnet (siehe Salamences Antwort):
Es wird also
[mm] $\phi^{-1}(\{0\})=\{1\}$
[/mm]
bewiesen.
(Oder mal so: Sei $x [mm] \in \text{Kern}(\phi)\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $\phi(x)=0$ [/mm] nach Definition von
[mm] $\text{Kern}(\phi)\,.$ [/mm] Also folgt [mm] $\ln(x)=0\,.$ [/mm] Naheliegender wäre es aber für mich nun,
daraus sofort [mm] $\exp(\ln(x))=x=1=\exp(0)$ [/mm] zu folgern...
Beachte übrigens: So wird [mm] $\text{Kern}(\phi) \subseteq \{1\}$ [/mm] bewiesen - dass [mm] $\{1\} \subseteq \text{Kern}(\phi)$ [/mm]
sowieso gelten muss, ist klar... weswegen eigentlich?)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 So 18.08.2013 | | Autor: | andreas01 |
Liebe Kollegen,
.... naheliegender wäre es aber für mich nun,
daraus sofort exp(ln(x)) = x = 1 = exp(0) zu folgern ...
dieser Satz hat mir Klarheit gebracht! Denn so ist mir das
ganze auch klar(= "von Null auf 1 zurückrechnen")!
Antwort, die ich noch schuldig bin: weil das neutrale auf das neutrale abgebildet wird.
Danke an alle da draußen! Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Fr 16.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andreas,
mal nebenbei:
Kannst Du vielleicht ergänzen, wie ihr [mm] $\ln$ [/mm] und [mm] $\exp$ [/mm] definiert habt? Denn
wenn man einfach [mm] $\ln$ [/mm] als Umkehrfunktion von [mm] $\exp$ [/mm] definiert... da frage ich
mich schon nach dem Sinn der Aufgabenstellung.
Schließlich gilt:
Es sei $f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to Y\,.$ [/mm] Ist [mm] $f\,$ [/mm] bijektiv, so existiert die Umkehrabbildung [mm] $f^{-1} \colon [/mm] Y [mm] \to [/mm] X$ - und
diese ist dann insbesondere bijektiv.
(Angemerkt sei, dass es auch andere Definitionen gibt, bei der man schon
den Begriff "Umkehrabbildung" benutzt, wenn man [mm] $f\,$ [/mm] "nur" injektiv hat.)
Es gelten aber auch solche Sätze wie:
Eine Abbildung $f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann [mm] $\begin{cases} \text{injektiv}\\\text{surjektiv},\end{cases}$ [/mm] wenn es eine [mm] $\begin{cases} \text{surjektive}\\\text{injektive},\end{cases}$ [/mm] Abbildung
$g [mm] \colon [/mm] Y [mm] \to [/mm] X$ gibt. (Da muss man vielleicht $X,Y [mm] \not=\varnothing$ [/mm] zudem fordern - bspw.
gibt es für $f [mm] \colon \varnothing \to [/mm] Y$ sicher kein passendes surjektives Gegenstück,
wenn $Y [mm] \not=\varnothing$ [/mm] ist.)
Sicherlich gilt:
$f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann [mm] $\begin{cases} \text{injektiv}\\\text{surjektiv},\end{cases}$, [/mm] wenn es eine Funktion $g [mm] \colon [/mm] Y [mm] \to [/mm] X$ mit [mm] $\begin{cases} g \circ f=\text{id}_X\\f \circ g=\text{id}_Y,\end{cases}$ [/mm] gibt.
Damit kannst Du folgern: Eine Abbildung $f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann bijektiv,
wenn es eine Funktion $g [mm] \colon [/mm] Y [mm] \to [/mm] X$ mit $g [mm] \circ f=\text{id}_X$ [/mm] und $f [mm] \circ g=\text{id}_Y$ [/mm] gibt.
Und "in diesem Falle" (was sprachlich eigentlich falsch ist; aber ich hoffe, Du
weißt, wie das gemeint ist) ist [mm] $g\,$ [/mm] eindeutig bestimmt und ist "die Umkehrabbildung"
zu [mm] $f\,.$ [/mm] (Gemäß der ersten, obigen Definition!)
Gruß,
Marcel
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