Logarithmieren < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 So 10.03.2013 | | Autor: | djeses |
| Aufgabe | Berechne ohne Taschenrechner:
[mm] (x)^\wurzel{x} [/mm] = [mm] (\wurzel{x} )^x [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe in einer alten Klassenarbeit gefunden. Zuerst habe ich versucht die Gleichung durch logarithmieren zu vereinfachen, bin aber dann bei der Lösung [mm] log(\wurzel{x})=\wurzel{x} [/mm] herausgekommen.
Jetzt habe ich Beispiele in die Gleichung eingesetzt und stelle fest, dass die Gleichung gar nicht stimmt. Kann das sein?
Vielen Dank für eure Hilfe
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Hallo,
> Berechne ohne Taschenrechner:
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> [mm](x)^\wurzel{x}[/mm] = [mm](\wurzel{x} )^x[/mm]
> Hallo,
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> ich habe diese Aufgabe in einer alten Klassenarbeit
> gefunden. Zuerst habe ich versucht die Gleichung durch
> logarithmieren zu vereinfachen, bin aber dann bei der
> Lösung [mm]log(\wurzel{x})=\wurzel{x}[/mm] herausgekommen.
Da hast du dich irgendwo verrechnet. Man kommt auf
[mm] x^{\wurzel{x}}=\wurzel{x}^x [/mm] <=>
[mm] \wurzel{x}*log(x)=x*log\left(\wurzel{x}\right) [/mm] <=>
[mm] log(x)*\left(\wurzel{x}-\bruch{x}{2}\right)=0
[/mm]
Diese Gleichung kann man dann mit dem Satz vom Nullprodukt weiter auf Lösungen untersuchen. Eine davon lautet trivialerweise x=1, die rechte Klammer liefert zwei weitere Lösungen, von denen eine auch nicht überraschend ist. Eine dritte Lösung ist x=0, und dies löst obige Gleichung, was man sich aber streng genommen erst durch eine Grenzwertbetrachtung klarmachen muss. Insofern ist das für eine Klassenarbeit schon ein dicker Brocken gewesen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 So 10.03.2013 | | Autor: | djeses |
Danke für die schnelle Antwort. Habe meinen Fehler gefunden!
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