Logarithmen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 So 03.02.2008 | | Autor: | omarco |
| Aufgabe | | Die Länder X und Y haben im Jahr 2000 beide 20 Millionen Einwohner. Die Bevölkerung von X wächst jährlich um 0.5%, die von Y um 3%. Ermittle rechnerisch, wann bei gleichbleibendem Wachstum X halb so viel wie Y hat. |
Wir haben zuerst folgende Gleichung aufgestellt :
X = 1/2 Y
1/2 Y = 20000000 * [mm] 1,005^x
[/mm]
Y = 20000000 * [mm] 1.03^x
[/mm]
Anschließend haben wir die Gleichungen eingesetz :
1/2 (20000000 * [mm] 1,03^x) [/mm] = 20000000 * [mm] 1,005^x
[/mm]
danach wussten wir nicht mehr wie es weiter geht, da wir nicht wussten wie man mit den 2 x sen umgeht.
wir haben diese frage auf keiner anderen seite aufgestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 So 03.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Die Länder X und Y haben im Jahr 2000 beide 20 Millionen
> Einwohner. Die Bevölkerung von X wächst jährlich um 0.5%,
> die von Y um 3%. Ermittle rechnerisch, wann bei
> gleichbleibendem Wachstum X halb so viel wie Y hat.
> Wir haben zuerst folgende Gleichung aufgestellt :
> X = 1/2 Y
>
> 1/2 Y = 20000000 * [mm]1,005^x[/mm]
>
> Y = 20000000 * [mm]1.03^x[/mm]
>
> Anschließend haben wir die Gleichungen eingesetz :
>
> 1/2 (20000000 * [mm]1,03^x)[/mm] = 20000000 * [mm]1,005^x[/mm]
Erst einmal links ausmultiplizieren:
[mm]10000000 *1,03^x = 20000000 *1,005^x[/mm]
und beide Seiten durch 10000000 teilen
[mm]1,03^x = 2 *1,005^x[/mm]
>
> danach wussten wir nicht mehr wie es weiter geht, da wir
> nicht wussten wie man mit den 2 x sen umgeht.
Beide Seiten logarithmieren:
[mm]\lg{1,03^x} = \lg{(2 *1,005^x)}[/mm]
und Logarithmengesetze anwenden:
[mm]x*\lg{1,03} = \lg{2}+\lg {1,005^x}[/mm]
[mm]x*\lg{1,03} = \lg{2}+x*\lg {1,005}[/mm]
Alles mit x auf eine Seite bringen, x ausklammern, umstellen, mit dem Zeigefinger der rechten Hand einige Tasten drücken .... Fertig!
> wir haben diese frage auf keiner anderen seite aufgestellt!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 So 03.02.2008 | | Autor: | omarco |
wir haben nach dieser Rechnung -0,19 raus zum schluss stand bei und lg 2 : lg 0,025 = y
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 So 03.02.2008 | | Autor: | abakus |
> wir haben nach dieser Rechnung -0,19 raus zum schluss
> stand bei und lg 2 : lg 0,025 = y
[mm] x*\lg{1,03}=\lg [/mm] 2 [mm] +x*\lg{1,005}
[/mm]
[mm] x*\lg{1,03}-x*\lg{1,005}=\lg [/mm] 2
[mm] x*(\lg{1,03}-\lg{1,005})=\lg [/mm] 2
[mm] x=\bruch{\lg 2 }{\lg{1,03}-\lg{1,005}}
[/mm]
Da kommt ungefähr 28 raus.
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