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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | lg(x+0,99)-lg(x) = 2
Man gebe alle reellen Lösungen an |
So ok ich habe zwei ansätze Verfolgt die mich nicht weiter gebracht haben:
Ansatz 1: Logarithmus gesetzt lgx-lgy = [mm] lg(\frac{x}{y}) [/mm] und e^lg(x) = x
lg(x+0,99)-lg(x) = 2
[mm]lg(\frac{x+0,99}{x} = 2[/mm] |e
[mm]\frac{x+0,99}{x} = 2e[/mm]
Ansatz 2:
[mm]lg(x+0,99)-lg(x)=2 | +lg(x)[/mm]
[mm]lg(x+0,99) = 2+lg(x) [/mm]| e
[mm]x+0,99 = e^{2+lg(x)} = e^2 * e^{lg(x)} = e^2 * x[/mm]
Könnte mir einer bitte auf die Sprünge helfen
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> lg(x+0,99)-lg(x) = 2
> Man gebe alle reellen Lösungen an
> So ok ich habe zwei ansätze Verfolgt die mich nicht
> weiter gebracht haben:
>
> Ansatz 1: Logarithmus gesetzt lgx-lgy = [mm]lg(\frac{x}{y})[/mm] und
> e^lg(x) = x
>
> lg(x+0,99)-lg(x) = 2
>
> [mm]lg(\frac{x+0,99}{x} = 2[/mm] |e
>
> [mm]\frac{x+0,99}{x} = 2e[/mm]
hier muss es [mm] e^2 [/mm] heissen, dann kommt das gleiche wie unten raus.
aber bist du sicher, dass mit lg der natürliche logarithmus gemeint ist, oder eher der logarithmus zur basis 10?
>
> Ansatz 2:
> [mm]lg(x+0,99)-lg(x)=2 | +lg(x)[/mm]
> [mm]lg(x+0,99) = 2+lg(x) [/mm]| e
> [mm]x+0,99 = e^{2+lg(x)} = e^2 * e^{lg(x)} = e^2 * x[/mm]
>
> Könnte mir einer bitte auf die Sprünge helfen
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Ja ist definitiv lg der basis 10 in der Aufgaben stellung.
Dann kann ich ja garnicht mit e mal nehmen um ihn weg zubekommen das geht ja nur beim ln ....
Das Problem ist halt das ich nicht weis wie ich weiter machen soll, da ich ja nach x auflösen möchte
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> Ja ist definitiv lg der basis 10 in der Aufgaben stellung.
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> Dann kann ich ja garnicht mit e mal nehmen um ihn weg
> zubekommen das geht ja nur beim ln ....
>
> Das Problem ist halt das ich nicht weis wie ich weiter
> machen soll, da ich ja nach x auflösen möchte
statt e^.. machst du halt 10^..
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Ju is mir auch gerade gekommen, das ist auch nicht das wirkliche ÜProblem gewesen sondern eher:
[mm] \frac{x+0,99}{x}=10^2
[/mm]
wie ich hier nach x auflöse ist mein Problem.
Ich mein ich kanns ja ablesen das x = 0.01 sein muss aber ich brauch ja nen rechenweg
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> Ju is mir auch gerade gekommen, das ist auch nicht das
> wirkliche ÜProblem gewesen sondern eher:
>
> [mm]\frac{x+0,99}{x}=10^2[/mm]
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> wie ich hier nach x auflöse ist mein Problem
edit: den bruch kürzen und normal nach x auflösen
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Aaahh das hat mir gefehlt, danke schön.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ju is mir auch gerade gekommen, das ist auch nicht das
> wirkliche ÜProblem gewesen sondern eher:
>
> [mm]\frac{x+0,99}{x}=10^2[/mm]
ab hier bitte nicht so "kompliziert" denken. Man kann die Gleichung mit $x [mm] \not=0$ [/mm] multiplizieren (nebenbei: [mm] $10^2=100$):
[/mm]
[mm] $$x+0,99=100x\,,$$
[/mm]
nun [mm] $-x\,$ [/mm] auf beiden Seiten addieren (oder [mm] $x\,$ [/mm] subtrahieren)
[mm] $$0,99=99x\,,$$
[/mm]
was nach Division durch $99$ gerade $x=0,01$ ergibt.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> lg(x+0,99)-lg(x) = 2
> Man gebe alle reellen Lösungen an
> So ok ich habe zwei ansätze Verfolgt die mich nicht
> weiter gebracht haben:
>
> Ansatz 1: Logarithmus gesetzt lgx-lgy = [mm]lg(\frac{x}{y})[/mm] und
> e^lg(x) = x
>
> lg(x+0,99)-lg(x) = 2
>
> [mm]lg(\frac{x+0,99}{x}) = 2[/mm] |e
schreibe dahinter lieber "e hoch" oder "Exponentialfunktion anwenden". Ansonsten denkt man (erstmal), dass Du mit [mm] $e\,$ [/mm] multiplizieren willst.
> [mm]\frac{x+0,99}{x} = 2e[/mm]
Der Grundgedanke ist schonmal nicht schlecht. Man sollte nur stets beachten, wann man für welche [mm] $x\,$ [/mm] welche Umformungen machen darf. Beispielsweise ist [mm] $0=\ln(x)-\ln(x)$ [/mm] für reelle [mm] $x\,$ [/mm] für jedes $x > 0$ sinnvoll, aber [mm] $0=\ln(1)=\ln(x/x)$ [/mm] kann man sogar für alle $x [mm] \not=0$ [/mm] hinschreiben. Aber das nur nebenbei.
Wenn Du diesen Ansatz machst, gelangst Du am Ende zu
[mm] $$\frac{x+0,99}{x}=\blue{e^2}\,.$$
[/mm]
Multiplikation mit [mm] $x\,$ [/mm] liefert dann
[mm] $$x+0,99=x*e^2\,.$$
[/mm]
Subtraktion von [mm] $x\,$ [/mm] auf beiden Seiten und Symmetrie des [mm] $=\,$ [/mm] dann
[mm] $$xe^2-x=0,99\,.$$
[/mm]
Jetzt denke mal dran, dass [mm] $e\,$ [/mm] und [mm] $e^2$ [/mm] FESTE Zahlen sind. Klammert man nun linkerhand [mm] $x\,$ [/mm] aus
[mm] $$x(e^2-1)=0,99\,,$$
[/mm]
so steht da etwas wie [mm] $x*r=0,99\,,$ [/mm] was man, wenn man $r [mm] \not=0$ [/mm] hat, leicht durch [mm] $r\,$ [/mm] dividieren kann.
> Ansatz 2:
> [mm]lg(x+0,99)-lg(x)=2 | +lg(x)[/mm]
> [mm]lg(x+0,99) = 2+lg(x) [/mm]| e
> [mm]x+0,99 = e^{2+lg(x)} = e^2 * e^{lg(x)} = e^2 * x[/mm]
>
> Könnte mir einer bitte auf die Sprünge helfen
Analog zu oben: Erst auf beiden Seiten der Gleichung [mm] $x\,$ [/mm] abziehen und dann vorklammern
[mm] $$0,99=x(e^2-1)\,.$$
[/mm]
Das ist leicht nach [mm] $x\,$ [/mm] aufzulösen.
P.S.:
Beachte: Bei der Ausgangsgleichung stehen die Ausdrücke [mm] $\lg(x)$ [/mm] (d.h. es sollte $x > [mm] 0\,$ [/mm] gelten) und [mm] $\lg(x+0,99)$ [/mm] (d.h. es sollte $x+0,99 > 0$ gelten). Also sollte sowohl $x > [mm] 0\,$ [/mm] als auch $x > -0,99$ sein, und diese beiden Bedingungen zusammen (d.h. sie sollen gleichzeitig gelten) sind äquivalent zu $x > [mm] 0\,.$ [/mm] Deine Berechnung von [mm] $x\,$ [/mm] aus der Gleichung
[mm] $$x(e^2-1)=0,99$$
[/mm]
wird dies erfüllen. Dennoch sollte man bei derartigen Rechnung quasi gewisse Dinge auch kontrollieren.
Gruß,
Marcel
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