Log. Spirale parametrisieren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die logarithmische Spirale [mm] \gamma(t):=e^{ct}*e^{it}, c\not=0, c\in\IR, [/mm] schneidet jeden Halbstrahl, der von 0 ausgeht, unter dem Winkel [mm] \alpha=arctan(1/c). [/mm] Im Fall c > 0 ist [mm] \gamma|(-\infty,0) [/mm] rektifizierbar. Welche Länge hat dieser Teil? |
Hallo zusammen,
ich versuche diese Aufgabe zu bearbeiten, scheitere aber an der Berechnung von [mm] \parallel\gamma'\parallel.
[/mm]
Zunächst habe ich die Parametrisierung ins reelle überführt:
[mm] \gamma(t):=e^{ct}*e^{it}=e^{ct}*\vektor{cos t \\ sin t}
[/mm]
Folgendes habe ich versucht:
[mm] \integral_{-\infty}^{0}{\parallel\gamma'(t)\parallel dt}=[e^{ct}]^0_-\infty=1-\limes_{t\rightarrow-\infty}e^{ct} [/mm] (Sorry wegen den Grenzen, weiß nicht wie man die vernünftig hinkriegt)
Ist das so korrekt?
Irgendwie traue ich meinem Vorgehen nicht, weil ich die Aufgabenstellung nicht 100% verstehe:
1) Was bedeutet [mm] \gamma|(-\infty,0) [/mm] ? Die Kurve ohne diesen Bereich?
2) Ich habe nirgends [mm] \alpha=arctan(1/c) [/mm] verwendet, das bereitet mir Unmut...
Bin für Antworten und Denkanstöße sehr erfreut!
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> Die logarithmische Spirale [mm]\gamma(t):=e^{ct}*e^{it}, c\not=0, c\in\IR,[/mm]
> schneidet jeden Halbstrahl, der von 0 ausgeht, unter dem
> Winkel [mm]\alpha=arctan(1/c).[/mm] Im Fall c > 0 ist
> [mm]\gamma|(-\infty,0)[/mm] rektifizierbar. Welche Länge hat dieser
> Teil?
> Hallo zusammen,
>
> ich versuche diese Aufgabe zu bearbeiten, scheitere aber an
> der Berechnung von [mm]\parallel\gamma'\parallel.[/mm]
>
> Zunächst habe ich die Parametrisierung ins reelle
> überführt:
>
> [mm]\gamma(t):=e^{ct}*e^{it}=e^{ct}*\vektor{cos t \\ sin t}[/mm]
>
> Folgendes habe ich versucht:
> [mm]\integral_{-\infty}^{0}{\parallel\gamma'(t)\parallel dt}=[e^{ct}]^0_-\infty=1-\limes_{t\rightarrow-\infty}e^{ct}[/mm]
> (Sorry wegen den Grenzen, weiß nicht wie man die
> vernünftig hinkriegt)
Du müsstest das Tiefgestellte, also [mm] -\infty [/mm] , zwischen geschweifte Klammern setzen !
> Ist das so korrekt?
Nein.
Hallo gaylussac0815,
um die Integration durchführen zu können, müsstest du
erst einmal die Ableitung [mm] \gamma'(t) [/mm] und deren Betrag [mm] |\gamma'(t)|
[/mm]
berechnen !
> Irgendwie traue ich meinem Vorgehen nicht, weil ich die
> Aufgabenstellung nicht 100% verstehe:
>
> 1) Was bedeutet [mm]\gamma|(-\infty,0)[/mm] ? Die Kurve ohne diesen
> Bereich?
Das Teilstück der Kurve für negative reelle t-Werte.
> 2) Ich habe nirgends [mm]\alpha=arctan(1/c)[/mm] verwendet, das
> bereitet mir Unmut...
>
> Bin für Antworten und Denkanstöße sehr erfreut!
LG Al-Chwarizmi
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> > Die logarithmische Spirale [mm]\gamma(t):=e^{ct}*e^{it}, c\not=0, c\in\IR,[/mm]
> > schneidet jeden Halbstrahl, der von 0 ausgeht, unter dem
> > Winkel [mm]\alpha=arctan(1/c).[/mm] Im Fall c > 0 ist
> > [mm]\gamma|(-\infty,0)[/mm] rektifizierbar. Welche Länge hat dieser
> > Teil?
> > Hallo zusammen,
> >
> > ich versuche diese Aufgabe zu bearbeiten, scheitere aber an
> > der Berechnung von [mm]\parallel\gamma'\parallel.[/mm]
> >
> > Zunächst habe ich die Parametrisierung ins reelle
> > überführt:
> >
> > [mm]\gamma(t):=e^{ct}*e^{it}=e^{ct}*\vektor{cos t \\ sin t}[/mm]
>
> >
> > Folgendes habe ich versucht:
> > [mm]\integral_{-\infty}^{0}{\parallel\gamma'(t)\parallel dt}=[e^{ct}]^0_-\infty=1-\limes_{t\rightarrow-\infty}e^{ct}[/mm]
> > (Sorry wegen den Grenzen, weiß nicht wie man die
> > vernünftig hinkriegt)
>
> Du müsstest das Tiefgestellte, also [mm]-\infty[/mm] , zwischen
> geschweifte Klammern setzen !
>
> > Ist das so korrekt?
>
> Nein.
>
> Hallo gaylussac0815,
>
> um die Integration durchführen zu können, müsstest du
> erst einmal die Ableitung [mm]\gamma'(t)[/mm] und deren Betrag
> [mm]|\gamma'(t)|[/mm]
> berechnen !
Das habe ich doch getan! Wozu brauche ich die Information des Schnittwinkels?
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> > Irgendwie traue ich meinem Vorgehen nicht, weil ich die
> > Aufgabenstellung nicht 100% verstehe:
> >
> > 1) Was bedeutet [mm]\gamma|(-\infty,0)[/mm] ? Die Kurve ohne diesen
> > Bereich?
>
> Das Teilstück der Kurve für negative reelle t-Werte.
>
> > 2) Ich habe nirgends [mm]\alpha=arctan(1/c)[/mm] verwendet, das
> > bereitet mir Unmut...
> >
> > Bin für Antworten und Denkanstöße sehr erfreut!
>
> LG Al-Chwarizmi
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Es gilt
[mm]\gamma(t) = \operatorname{e}^{(c + \operatorname{i})t} \, , \ \ \gamma'(t) = (c + \operatorname{i}) \operatorname{e}^{(c + \operatorname{i})t}[/mm]
Daher ist
[mm]\left| \gamma'(t) \right|^2 = \gamma'(t) \cdot \overline{\gamma'(t)} = (c + \operatorname{i}) \operatorname{e}^{(c + \operatorname{i})t} \cdot \, (c - \operatorname{i}) \operatorname{e}^{(c - \operatorname{i})t} = \left( c^2 + 1 \right) \operatorname{e}^{2ct}[/mm]
Und die Sache mit dem Winkel soll vermutlich nur "zur Allgemeinbildung beitragen". Immerhin ist das eine besondere Eigenschaft der Kurve.
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