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| Aufgabe | | Lösen Sie folgende Gleichung nach x auf: [mm] log_{2x}3=log_{3x}2 [/mm] |
Die Lösung:
--> ln(2x)/ln(3) = ln(3x)/ln(2) --> ln(2)ln(3x) = ln(3)ln(3x)
--> [mm] ln((2x)^{ln(2)}) [/mm] = [mm] ln((3x)^{ln(3)}) [/mm] --> [mm] (2x)^{ln(2)} [/mm] = [mm] (3x)^{ln(3}
[/mm]
--> [mm] 2x^{ln(2)}/3x^{ln(3)} [/mm] = [mm] x^{ln(3)}/x^{ln(2)}
[/mm]
--> [mm] 2^{ln(2)}/3^{ln(3)} [/mm] = [mm] x^{ln(3/2)}
[/mm]
--> x= [mm] \wurzel[ln(3/2)]{2^{ln(2)}/3^{ln(3)}} [/mm]
Frage:
1) Müsste der erste Ausdruck nicht ln(3)/ln(2x) = ln(2)/ln(3x) heißen?
(Eselsbrücke: untere Basis nach unten; führt genauso zu Schritt 2)
2) Wie komm ich von ln(2)ln(3x) = ln(3)ln(3x) auf [mm] ln((2x)^{ln(2)}) [/mm] = [mm] ln((3x)^{ln(3)}) [/mm] und davonauf [mm] 2x^{ln(2)}/3x^{ln(3)}? [/mm] Gibt es dfür eine bestimmte Regel?
3) Und ln(3)-ln(2) gibt ln(3/2) was gibt dann ln(3)+ln(2)?
Danke im Voraus!
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Mi 15.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Lösen Sie folgende Gleichung nach x auf:
> [mm]log_{2x}3=log_{3x}2[/mm]
> Die Lösung:
>
> --> ln(2x)/ln(3) = ln(3x)/ln(2) --> ln(2)ln(3x) =
> ln(3)ln(3x)
> --> [mm]ln((2x)^{ln(2)})[/mm] = [mm]ln((3x)^{ln(3)})[/mm] --> [mm](2x)^{ln(2)}[/mm] =
> [mm](3x)^{ln(3}[/mm]
> --> [mm]2x^{ln(2)}/3x^{ln(3)}[/mm] = [mm]x^{ln(3)}/x^{ln(2)}[/mm]
> --> [mm]2^{ln(2)}/3^{ln(3)}[/mm] = [mm]x^{ln(3/2)}[/mm]
> --> x= [mm]\wurzel[ln(3/2)]{2^{ln(2)}/3^{ln(3)}}[/mm]
>
> Frage:
>
> 1) Müsste der erste Ausdruck nicht ln(3)/ln(2x) =
> ln(2)/ln(3x) heißen?
Ja, aber:
[mm] \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow\fra{b}{a}=\frac{d}{c}
[/mm]
> (Eselsbrücke: untere Basis nach unten; führt genauso zu
> Schritt 2)
> 2) Wie komm ich von ln(2)ln(3x) = ln(3)ln(3x) auf
> [mm]ln((2x)^{ln(2)})[/mm] = [mm]ln((3x)^{ln(3)})[/mm] und davonauf
> [mm]2x^{ln(2)}/3x^{ln(3)}?[/mm] Gibt es dfür eine bestimmte Regel?
Ja, es gilt:
[mm] \log_{b}(x^{r})=r\cdot\log_{b}{x}
[/mm]
(hier: [mm] r=\ln(2) [/mm] bzw [mm] r=\ln(3) [/mm] )
> 3) Und ln(3)-ln(2) gibt ln(3/2) was gibt dann
> ln(3)+ln(2)?
Es gilt: [mm] \log_{b}(x)+\log_{b}(y)=\log_{b}(xy)
[/mm]
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>
> Danke im Voraus!
>
> Gruss
>
Marius
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