Lösungsweg gesucht < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] 3^{x+2}+4^x=4^{x+1}-3^{x-1}
[/mm]
[mm] 3^x*3^2+4^x=4^x*4-3^x*3^-1
[/mm]
[mm] 3^x*9+4^x=4^x*4-3^x*\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] (4+3)^x*9=(4-3)^x-4*\bruch{1}{3} [/mm] |
So nun zur Frage, ist der von mir gefundene Lösungsansatz richtig? Wenn nein, was ist falsch?
und wenn ja, wie gehts weiter?
[mm] (4+3)^x*9=(4-3)^x-4*\bruch{1}{3} [/mm] |:9
[mm] (4+3)^x=(4-3)^x*(\bruch{4*\bruch{1}{3}}{9}) |:(4-3)^x
[/mm]
[mm] \bruch{(4+3)^x}{(4-3)^x}=-(\bruch{4*\bruch{1}{3}}{9})
[/mm]
Wie geht es denn nun weiter? Muss ich jetzt logarithmieren?
Ich steh voll auf dem Schlauch! Wer kann mir helfen? Danke im Voraus!
mfg
Andreas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Ehrlich gesagt, du hast da schon ein paar Fehler in den ganz einfachen Umformungen.
> [mm]3^{x+2}+4^x=4^{x+1}-3^{x-1}[/mm]
> [mm]3^x*3^2+4^x=4^x*4-3^x*3^-1[/mm]
> [mm]3^x*9+4^x=4^x*4-3^x*\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm](4+3)^x*9=(4-3)^x-4*\bruch{1}{3}[/mm]
Hier, in der letzten Zeile z.B.: Erstens ist [mm] 3^x+4^x\red{\neq}(3+4)^x
[/mm]
Und dann kannst du nicht einfach die 9 ausklammern. Denn [mm] (3+4)*9=3*9+4\red{*9}
[/mm]
Das gleiche gilt für die rechte Seite.
> So nun zur Frage, ist der von mir gefundene Lösungsansatz
> richtig? Wenn nein, was ist falsch?
> und wenn ja, wie gehts weiter?
>
> [mm](4+3)^x*9=(4-3)^x\red{-}4*\bruch{1}{3}[/mm] |:9
> [mm](4+3)^x=(4-3)^x\red{*}(\bruch{4*\bruch{1}{3}}{9}) |:(4-3)^x[/mm]
Hier wurde aus der Subtraktion eine Multiplikation
>
> [mm]\bruch{(4+3)^x}{(4-3)^x}=-(\bruch{4*\bruch{1}{3}}{9})[/mm]
>
> Wie geht es denn nun weiter? Muss ich jetzt
> logarithmieren?
> Ich steh voll auf dem Schlauch! Wer kann mir helfen? Danke
> im Voraus!
>
> mfg
> Andreas
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Du hast bereits sämtliche Potenzen auf den gleichen Exponenten gebracht, das ist richtig.
Sortiere dann am besten um, sodaß da steht
[mm] \Box*3^x=\Box*4^x [/mm] wobei für [mm] \Box [/mm] jeweils eine Zahl ohne x einzusetzen ist.
Dann benutzt du den Logarithmus.
Denk dabei zunächst an [mm] \log(a*b)=\log(a)+\log(b)
[/mm]
Auch mußt du auf beiden Seiten den Log zur GLEICHEN BASIS anwenden, und mußt dann auf beiden folgenden Trick anwenden:
[mm] \log(a^b)=b*\log(a)
[/mm]
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> Sortiere dann am besten um, sodaß da steht
>
> [mm]\Box*3^x=\Box*4^x[/mm] wobei für [mm]\Box[/mm] jeweils eine Zahl ohne x
> einzusetzen ist.
an dieser Stelle wäre es sinnvoll, noch so umzuformen:
[mm]\bruch{3^x}{4^x}=\Box[/mm]
[mm]0.75^x=\Box[/mm]
und erst jetzt zu logarithmieren
LG
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Das ist natürlich noch besser!
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| Aufgabe | | [mm] 3^{x+2}+4^x=4^{x+1}-3^{x-1} [/mm] |
> Hallo!
>
> Ehrlich gesagt, du hast da schon ein paar Fehler in den
> ganz einfachen Umformungen.
>
> > [mm]3^{x+2}+4^x=4^{x+1}-3^{x-1}[/mm]
> > [mm]3^x*3^2+4^x=4^x*4-3^x*3^-1[/mm]
> > [mm]3^x*9+4^x=4^x*4-3^x*\bruch{1}{3}[/mm]
> > [mm](4+3)^x*9=(4-3)^x-4*\bruch{1}{3}[/mm]
Ok, das macht Sinn, also war ich zumindest bis zum ausklammern auf dem richtigen Weg!?
[mm] 3^{x+2}+4^x=4^{x+1}-3^{x-1}
[/mm]
[mm] 3^x*3^2+4^x=4^x*4-3^x*3^-1
[/mm]
[mm] 3^x*9+4^x=4^x*4-3^x*\bruch{1}{3}
[/mm]
Mit dem Bruch stimmt aber dann auch soweit?
Was ist denn besser, den Bruch zu schreiben oder ihn gleich auszurechnen?
> Hier, in der letzten Zeile z.B.: Erstens ist
> [mm]3^x+4^x\red{\neq}(3+4)^x[/mm]
> Und dann kannst du nicht einfach die 9 ausklammern. Denn
> [mm](3+4)*9=3*9+4\red{*9}[/mm]
> Das gleiche gilt für die rechte Seite.
Ok, das leuchtet mir ein!
>> Du hast bereits sämtliche Potenzen auf den gleichen
> Exponenten gebracht, das ist richtig.
> Sortiere dann am besten um, sodaß da steht
>
> [mm]\Box*3^x=\Box*4^x[/mm] wobei für [mm]\Box[/mm] jeweils eine Zahl ohne x
> einzusetzen ist.
[mm] 3^x*9+4^x=4^x*4-3^x*\bruch{1}{3} |-4^x;
[/mm]
ich komm nicht mit der division klar. Ich müsste doch durch 4 und durch [mm] 3^x [/mm] dividieren für die rechte Seite und links hab ich schon die die [mm] 4^x [/mm] subtrahiert. Aber irgendwie kapiere ich jetzt gar nichts mehr krieg es nicht auf die Reihe.
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> [mm]3^{x+2}+4^x=4^{x+1}-3^{x-1}[/mm]
> > Hallo!
> >
> > Ehrlich gesagt, du hast da schon ein paar Fehler in den
> > ganz einfachen Umformungen.
> >
> > > [mm]3^{x+2}+4^x=4^{x+1}-3^{x-1}[/mm]
> > > [mm]3^x*3^2+4^x=4^x*4-3^x*3^-1[/mm]
> > > [mm]3^x*9+4^x=4^x*4-3^x*\bruch{1}{3}[/mm]
> > > [mm](4+3)^x*9=(4-3)^x-4*\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Ok, das macht Sinn, also war ich zumindest bis zum
> ausklammern auf dem richtigen Weg!?
>
> [mm]3^{x+2}+4^x=4^{x+1}-3^{x-1}[/mm]
> [mm]3^x*3^2+4^x=4^x*4-3^x*3^-1[/mm]
> [mm]3^x*9+4^x=4^x*4-3^x*\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Mit dem Bruch stimmt aber dann auch soweit?
> Was ist denn besser, den Bruch zu schreiben oder ihn gleich
> auszurechnen?
Hallo,
was meinst Du mit "Bruch ausrechnen"? Eine Dezimalzahl hinschreiben? Würde ich nicht machen. Die ist ja peridisch und wenn Du rundest, bekommst Du fehler.
Sortiere jetzt mal so, daß Du links die Vielfachen von [mm] 3^x [/mm] hast, und rechts die von [mm] 4^x:
[/mm]
[mm] 3^x*9+3^x*\bruch{1}{3}=4^x*4-4^x.
[/mm]
Nun klmmere links die [mm] 3^x [/mm] aus und rechts die [mm] 4^x.
[/mm]
Volkstümlicher: wieviel sind 9 Birnen [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] Birne?
Wieviel sind 4 Äpfel- 1 Apfel?
Wenn Du das hast, bring alles mit "hoch x" auf eine Seite und die "einzelnen Zahlen" auf die andere.
Nun endlich kannst Du logarithmieren.
Gruß v. Angela
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> > [mm]3^{x+2}+4^x=4^{x+1}-3^{x-1}[/mm]
> > > Hallo!
> > >
> > > Ehrlich gesagt, du hast da schon ein paar Fehler in den
> > > ganz einfachen Umformungen.
> > >
> > > > [mm]3^{x+2}+4^x=4^{x+1}-3^{x-1}[/mm]
> > > > [mm]3^x*3^2+4^x=4^x*4-3^x*3^-1[/mm]
> > > > [mm]3^x*9+4^x=4^x*4-3^x*\bruch{1}{3}[/mm]
> > > > [mm](4+3)^x*9=(4-3)^x-4*\bruch{1}{3}[/mm]
> >
> > Ok, das macht Sinn, also war ich zumindest bis zum
> > ausklammern auf dem richtigen Weg!?
> >
> > [mm]3^{x+2}+4^x=4^{x+1}-3^{x-1}[/mm]
> > [mm]3^x*3^2+4^x=4^x*4-3^x*3^-1[/mm]
> > [mm]3^x*9+4^x=4^x*4-3^x*\bruch{1}{3}[/mm]
> >
> > Mit dem Bruch stimmt aber dann auch soweit?
> > Was ist denn besser, den Bruch zu schreiben oder ihn gleich
> > auszurechnen?
>
> Hallo,
>
> was meinst Du mit "Bruch ausrechnen"? Eine Dezimalzahl
> hinschreiben? Würde ich nicht machen. Die ist ja peridisch
> und wenn Du rundest, bekommst Du fehler.
>
> Sortiere jetzt mal so, daß Du links die Vielfachen von [mm]3^x[/mm]
> hast, und rechts die von [mm]4^x:[/mm]
>
> [mm]3^x*9+3^x*\bruch{1}{3}=4^x*4-4^x.[/mm]
>
> Nun klmmere links die [mm]3^x[/mm] aus und rechts die [mm]4^x.[/mm]
> Volkstümlicher: wieviel sind 9 Birnen [mm]-\bruch{1}{3}[/mm]
> Birne?
> Wieviel sind 4 Äpfel- 1 Apfel?
>
[mm] 3^x*(9-\bruch{1}{3}=4^x*(4-1)
[/mm]
aber warum wird der Bruch negativ?
> Wenn Du das hast, bring alles mit "hoch x" auf eine Seite
> und die "einzelnen Zahlen" auf die andere.
[mm] 3^x*8\bruch{2}{3}=4^x*3 |:4^x [/mm] ; [mm] :8\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{3^x}{4^x}= 3:8\bruch{2}{3} [/mm] |log
[mm] \bruch{x*log(3)}{x*log(4)}=log(3):log(\bruch{26}{3})
[/mm]
[mm] \bruch{x*log(3)}{x*log(4)}=\bruch{log(3)}{log(26)-log(3)}
[/mm]
Ist das dann soweit richtig???
Oder liege ich voll daneben?
> Nun endlich kannst Du logarithmieren.
>
> Gruß v. Angela
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> > Sortiere jetzt mal so, daß Du links die Vielfachen von [mm]3^x[/mm]
> > hast, und rechts die von [mm]4^x:[/mm]
> >
> > [mm]3^x*9+3^x*\bruch{1}{3}=4^x*4-4^x.[/mm]
> >
> > Nun klmmere links die [mm]3^x[/mm] aus und rechts die [mm]4^x.[/mm]
> > Volkstümlicher: wieviel sind 9 Birnen [mm]\red{+}\bruch{1}{3}[/mm]
> > Birne?
> > Wieviel sind 4 Äpfel- 1 Apfel?
> >
> [mm]3^x*(9-\bruch{1}{3}=4^x*(4-1)[/mm]
> aber warum wird der Bruch negativ?
Hallo,
der wird nicht negativ. Bei meinen Birnen war leider ein Tippfehler, aber oben in der Gleichung stimmte es.
>
> > Wenn Du das hast, bring alles mit "hoch x" auf eine Seite
> > und die "einzelnen Zahlen" auf die andere.
> [mm]3^x*8\bruch{2}{3}=4^x*3 |:4^x[/mm] ; [mm]:8\bruch{2}{3}[/mm]
Du hast hier also nicht [mm] 8\bruch{2}{3}, [/mm] sondern [mm] 9\bruch{1}{3}, [/mm] Da Du noch dividieren mußt, ist ein "richtiger" Bruch praktischer, also [mm] \bruch{28}{3}.
[/mm]
Du hast dann
[mm] \bruch{28}{3}*3^x=3*4^x,
[/mm]
nach der Division
[mm] \bruch{3^x}{4^x}=\bruch{9}{28},
[/mm]
und das ist äquivalent zu
[mm] (\bruch{3}{4})^x=\bruch{9}{28} [/mm]  Potenzgesetze.
Jetzt erst wäre die Zeit für den Logarithmus gekommen.
Du darfst allerdings nicht wie Rambo ans Werk gehen und zerstörerische Kräfte walten lassen.
Die Maßnahme muß geordnet unter Beachtung der geltenden Logarithmusgesetze vonstatten gehen.
Versuch's nochmal, aber studier vorher die gesetze und sage bei jedem Schritt, welches Du verwendest.
> [mm]\bruch{3^x}{4^x}= 3:8\bruch{2}{3}[/mm] |log
> [mm]\bruch{x*log(3)}{x*log(4)}=log(3):log(\bruch{26}{3})[/mm]
> [mm]\bruch{x*log(3)}{x*log(4)}=\bruch{log(3)}{log(26)-log(3)}[/mm]
> Ist das dann soweit richtig???
> Oder liege ich voll daneben?
Im Moment noch...
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | [mm] 3^{x+2}+4^x=4^{x+1}-3^{x-1} [/mm] |
> > > Sortiere jetzt mal so, daß Du links die Vielfachen von [mm]3^x[/mm]
> > > hast, und rechts die von [mm]4^x:[/mm]
> > >
> > > [mm]3^x*9+3^x*\bruch{1}{3}=4^x*4-4^x.[/mm]
> > >
> > > Nun klmmere links die [mm]3^x[/mm] aus und rechts die [mm]4^x.[/mm]
> > > Volkstümlicher: wieviel sind 9 Birnen
> [mm]\red{+}\bruch{1}{3}[/mm]
> > > Birne?
> > > Wieviel sind 4 Äpfel- 1 Apfel?
> > >
> > [mm]3^x*(9-\bruch{1}{3}=4^x*(4-1)[/mm]
> > aber warum wird der Bruch negativ?
>
> Hallo,
>
> der wird nicht negativ. Bei meinen Birnen war leider ein
> Tippfehler, aber oben in der Gleichung stimmte es.
> >
> > > Wenn Du das hast, bring alles mit "hoch x" auf eine Seite
> > > und die "einzelnen Zahlen" auf die andere.
> > [mm]3^x*8\bruch{2}{3}=4^x*3 |:4^x[/mm] ; [mm]:8\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Du hast hier also nicht [mm]8\bruch{2}{3},[/mm] sondern
> [mm]9\bruch{1}{3},[/mm] Da Du noch dividieren mußt, ist ein
> "richtiger" Bruch praktischer, also [mm]\bruch{28}{3}.[/mm]
>
> Du hast dann
>
> [mm]\bruch{28}{3}*3^x=3*4^x,[/mm]
>
> nach der Division
>
> [mm]\bruch{3^x}{4^x}=\bruch{9}{28},[/mm]
>
> und das ist äquivalent zu
>
> [mm](\bruch{3}{4})^x=\bruch{9}{28}[/mm] Potenzgesetze.
>
> Jetzt erst wäre die Zeit für den Logarithmus gekommen.
>
> Du darfst allerdings nicht wie Rambo ans Werk gehen und
> zerstörerische Kräfte walten lassen.
>
> Die Maßnahme muß geordnet unter Beachtung der geltenden
> Logarithmusgesetze vonstatten gehen.
>
> Versuch's nochmal, aber studier vorher die gesetze und sage
> bei jedem Schritt, welches Du verwendest.
Danke erstmal für deine Geduld!
Neuer Versuch:
[mm] (\bruch{3}{4})^x=\bruch{9}{28} [/mm] |log
[mm] x*log(\bruch{3}{4})=log(\bruch{9}{28}) |:log(\bruch{3}{4})
[/mm]
[mm] x=\bruch{log(9)-log(28)}{log(3)-log(4)} \Rightarrow [/mm] 2. [mm] Log-Gesetz:log(\bruch{a}{b})=log(a)-log(b)
[/mm]
Ist das der richtige Weg und das richtig angewandte Log-Gesetz?
mfg
Andreas
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Hallo andiedepunkt,
> Neuer Versuch:
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> [mm](\bruch{3}{4})^x=\bruch{9}{28}[/mm] |log
>
> [mm]x*log(\bruch{3}{4})=log(\bruch{9}{28}) |:log(\bruch{3}{4})[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{log(9)-log(28)}{log(3)-log(4)} \Rightarrow[/mm] 2.
> [mm]Log-Gesetz:log(\bruch{a}{b})=log(a)-log(b)[/mm]
>
> Ist das der richtige Weg und das richtig angewandte
> Log-Gesetz?
Ja.
>
> mfg
> Andreas
Gruß
MathePower
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