Lösungsschritt einer Gleichung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Do 25.12.2014 | | Autor: | miho2013 |
In meinem Lehrbuch(Analysis für Dummies, S. 250) zur Herleitung des Integrals(rechte Rechtecke) wird aus
= [mm] \summe_{i=1}^{n}[\bruch{27i^2}{n^3} [/mm] + [mm] \bruch{3}{n}]
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{27i^2}{n^3} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{3}{n}
[/mm]
= [mm] \bruch{27}{n^3} \summe_{i=1}^{n} i^2 [/mm] + [mm] \bruch{3}{n} \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1
Leider verstehe ich die letzten beiden Schritte zur Lösung der Gleichung überhaupt nicht. Kann mir da jemand weiterhelfen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Do 25.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo miho2013 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> In meinem Lehrbuch(Analysis für Dummies, S. 250) zur
> Herleitung des Integrals(rechte Rechtecke) wird aus
>
> = [mm]\summe_{i=1}^{n}[\bruch{27i^2}{n^3}[/mm] + [mm]\bruch{3}{n}][/mm]
>
> = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{27i^2}{n^3}[/mm] + [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{3}{n}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{27}{n^3} \summe_{i=1}^{n} i^2[/mm] + [mm]\bruch{3}{n} \summe_{i=1}^{n}[/mm]
> 1
>
> Leider verstehe ich die letzten beiden Schritte zur Lösung
> der Gleichung überhaupt nicht. Kann mir da jemand
> weiterhelfen?
> Vielen Dank!
Das erste Gleichheitszeichen sollte doch aber klar sein! Es ist
[mm] \sum_{k=m}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=m}^{n}a_k+\sum_{k=m}^{n}b_k.
[/mm]
(Achtung: Für die Multiplikation funktioniert das nicht!)
Das zweite Gleichheitszeichen ist auch klar, wenn man sich genau
anguckt was der Laufindex ist. Es wird nur [mm] $i\$ [/mm] erhöht und [mm] $n\$ [/mm] ist fest!
Aus diesem Grund können [mm] $n\$ [/mm] als Faktor aus der Summe ziehen. Es ist
[mm] \sum_{k=m}^{n}\lambda*a_k=\lambda*\sum_{k=m}^{n}a_k.
[/mm]
Übrigens kann man das weiter durchrechnen. Es ist nämlich
[mm] \sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
(Das kannst du zum Beispiel durch vollständige Induktion zeigen!)
und es gilt
[mm] \sum_{i=1}^{n}1=n-1+1=n.
[/mm]
(Ist dir letzteres klar? Falls nicht, dann schreib die Summe aus.)
Gruß
DieAcht
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