Lösungsschar eines GS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Lösungen des Gleichungssystems in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] Element von [mm] \IR [/mm] und begründen Sie, für welche [mm] \alpha [/mm] kleine, für welche [mm] \alpha [/mm] genau eine und für welche [mm] \alpha [/mm] eine mehrparametrige Lösungsschar existiert. |
Ich weiß absolut nciht, ob mein Lösungsweg richtig ist? :(
Bitte kann mir jemand helfen?
Gegeben:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] \alpha^{2} x_{2} [/mm] - [mm] 2\alpha x_{2} [/mm] - [mm] 3x_{2} [/mm] + 4 [mm] \alpha^{3} x_{3} [/mm] - 4 [mm] \alpha^{2} x_{3} [/mm] - [mm] 8\alpha x_{3} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + 1
[mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] 6\alpha^{2} x_{2} [/mm] - [mm] 12\alpha x_{2} [/mm] - [mm] 18x_{2}+ 18\alpha^{3} x_{3} [/mm] - [mm] 18\alpha^{2} x_{3} [/mm] - [mm] 36\alpha x_{3} [/mm] = [mm] 3\alpha [/mm] + 3
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 2\alpha^{2} x_{2} [/mm] - [mm] 4\alpha x_{2} [/mm] - [mm] 6x_{2}+ 9\alpha^{3} x_{3} [/mm] - [mm] 9\alpha^{2} x_{3} [/mm] - [mm] 18\alpha x_{3} [/mm] = [mm] \alpha^{2} [/mm] + [mm] 5\alpha [/mm] + 4
Meiner Meinung nach muss man jetzt einen Stufenform hinbekommen? Also ich betrage alle x1, alle x2 und alle x3:
1 | [mm] \alpha^{2} -2\alpha [/mm] -3 | [mm] 4\alpha^{3} [/mm] - [mm] 4\alpha^{2} [/mm] - [mm] 8\alpha [/mm] | [mm] \alpha [/mm] +1 |(*-3) |(*-2)
3 | [mm] 6\alpha^{2} -12\alpha [/mm] -18 | [mm] 18\alpha^{3} [/mm] - [mm] 18\alpha^{2} [/mm] - [mm] 36\alpha [/mm] | [mm] 3\alpha [/mm] +3
2 | [mm] 2\alpha^{2} -4\alpha [/mm] -6 | [mm] 9\alpha^{3} [/mm] - [mm] 9\alpha^{2} [/mm] - [mm] 18\alpha [/mm] | [mm] \alpha^{2} [/mm] + [mm] 5\alpha [/mm] +4
Jetzt kann ich doch multiplizieren und Zeilen miteinander addieren:
ich bekomme ein Gleichung für die 3. Zeile:
x3* ( [mm] \alpha^{3} [/mm] - [mm] \alpha^{2} [/mm] - [mm] 2\alpha [/mm] ) = [mm] \alpha^{2} -3\alpha [/mm] -2
und jetzt? =( Danke für eure schnelle Hilfe!!!
|
|
| |
|
Hallo, kümmern wir uns zunächst um einen Vorzeichenfehler, du hast eine neue 3. Zeile gebildet: (-2) mal 1. Zeile plus 3. Zeile
der Term rechts vom Gleichheitszeichen ist nicht korrekt,
[mm] (-2)*(\alpha+1)+\alpha^{2}+5\alpha+4=-2\alpha-2+\alpha^{2}+5\alpha+4=\alpha^{2}+3\alpha+2
[/mm]
somit lautet die 3. Zeile
[mm] x_3*(\alpha^{3}-\alpha^{2}-2\alpha)=\alpha^{2}+3\alpha+2
[/mm]
jetzt kannst du nach [mm] x_3 [/mm] umstellen,
[mm] x_3=\bruch{\alpha^{2}+3\alpha+2}{\alpha^{3}-\alpha^{2}-2\alpha}
[/mm]
jetzt ist ja die Division durch Null nicht definiert, also hat dein Gleichungssystem schonmal für folgende [mm] \alpha_1=..., \alpha_2=...., \alpha_3=.... [/mm] keine Lösung
untersuche dann mal den Zähler [mm] \alpha^{2}+3\alpha+2
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Keine Lösung für 0, 2, -1
|
Muss ich den Zähler = 0 setzen? Wenn ja wieso?
Dann kann ich jedenfalls die quadatische Gleichung lösen..
Danke!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 So 15.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Keine Lösung für 0, 2, -1
Das sieht gut aus, also betrachte das "Ausgangsgleichungssystem" mal für [mm] \alpha=-1, [/mm] alpha=2 und [mm] \alpha=0. [/mm] Vorher solltest du aber schauen, ob eine der drei Definitionslücken von [mm] x_{3} [/mm] hebbar ist, dann kannst du dir diese Falluntersuchung sparen.
>
> Muss ich den Zähler = 0 setzen? Wenn ja wieso?
Das sind die Werte, für die [mm] x_{3}=0 [/mm] ist.
>
> Dann kann ich jedenfalls die quadatische Gleichung
> lösen..
>
> Danke!!
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 So 15.08.2010 | | Autor: | DER-Helmut |
hebbar??^^ noch nie gehört :D
:(
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Wie ghe ich da vor? |
=/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 So 15.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Hebbar heisst, dass ich die Linearfaktoren der Nullstelle "wegkürzen" kann.
Du wiesst schon, dass:
[mm] x_{3}=\bruch{\alpha^{2}+3\alpha+2}{\alpha^{3}-\alpha^{2}-2\alpha}
[/mm]
[mm] =\bruch{\alpha^{2}+3\alpha+2}{(\alpha-0)(\alpha+1)(\alpha-2)}
[/mm]
Die Nullstellen des Zählers sind -2 und -1, also
[mm] \bruch{\alpha^{2}+3\alpha+2}{(\alpha-0)(\alpha+1)(\alpha-2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(\alpha+1)(\alpha+2)}{(\alpha-0)(\alpha+1)(\alpha-2)}
[/mm]
Jetzt kann ich den gemeinsamen Linearfaktor heruaskürzen, so dass:
[mm] \bruch{(\alpha+1)(\alpha+2)}{(\alpha-0)(\alpha+1)(\alpha-2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{\alpha+2}{\alpha(\alpha-2)}
[/mm]
Also brauchst du neben der normalen Berechnung des LGS nur noch die Sonderfälle [mm] \alpha=0 [/mm] und [mm] \alpha=2 [/mm] (Nullstellen des Nenners) und [mm] \alpha=-2, [/mm] also [mm] x_{3}=0 [/mm] zu betrachten.
Marius
|
|
|
|
