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| Aufgabe | a) Gegeben sei die Matrix
( 2 1 4 5)
A= ( -4 -2 -5 -4)
( 6 3 7 5)
( -14)
und der Vektor b=( 4 )
( t )
a) Für welches t ist die Lösungsmenge L(A,b) nicht- leer? (Zur Orientierung t=-2)
b) Berechnen Sie für dieses t Zahlen [mm] (u,v\in [/mm] R), so dass
( u)
x0 :=( 0) [mm] \in [/mm] L(A,b)
( 0)
( v)
c) Berechnen Sie für dieses t den Lösungsraum L(A,b) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, also ich habe die a) und die b) selbstständig gelöst, was auch notwendig ist um die c) bearbeiten zu können, welche ich wie folgt angefangen habe
(0)
setze b=(0)
(0)
(2 1 4 5 0)
(0 0 3 6 0)
(0 0 0 0 0)
dann habe ich zwei Gleichungen erhalten, und zwar
I: 2x1 + 1x2 + 4x3 + 5x4 =0
II: 3x3 + 6x4=0
dann hab ich durch umstellen und einsetzen als "Endgleichung"
x1= 1/2*(-x2 + 3x4)erhalten, aber ich weiss jetzt nicht was ich mit dem x1 machen soll, denn Laut der Musterlösung soll ich nun auf eine Gleichung wie folgt kommen
(-1/2) (3/2)
( 1 ) ( 0 )
[mm] \vec{x} [/mm] = ( 0 ) x2 + (-2 )x4
( 0 ) ( 1 )
(3 ) (-1/2) (3/2)
und dann folgendes erhalten: L(A,b)= (0 ) ( 1 ) (0 )
(0 ) + R ( 0 )+R(-2 )
(-4) (0 ) ( 1 )
Allerdings verstehe ich nicht wie man auf die Schritte kommt, bzw nach welchem Schema da vorgegangen wird, kann mir bitte jemand helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Sa 31.01.2015 | | Autor: | huddel |
Hi Matrizenvernichter,
in Teil b ist hast du einen Lösungsvektor
[mm] $x_0 [/mm] =$ [mm] \begin{pmatrix}
3 \\
0 \\
0 \\
-4
\end{pmatrix}
[/mm]
bestimmt. Wenn du nun Vektoren $y [mm] \in \mathbb{R}^4$ [/mm] findest, sodass $Ay = 0$ ergibt, gilt ja wegen der Linearität:
[mm] $A(x_0 [/mm] + y) = [mm] Ax_0 [/mm] + Ay = b + 0 = b$
Daher setzt zu erstmal $b=0$ und löst das Gleichunssystem erneut und kommst auf den von dir gegebenen Kern
$Ker(A) =$ [mm] \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} x_2 [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} x_4
[/mm]
weobei [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] frei wählbar sind.
Damit kommst du insgesammt auf eine Lösungsmenge für $L(A,b)$:
$L(A,b) =$ [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} [/mm] r + [mm] \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} [/mm] s
Da der hinterer Teil beim Auswerten ja komplett verschwindet und nur noch $ b $ übrig bleibt.
Ich hoffe jetzt ist es klarer :)
LG
Marlon
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Danke schonmal für die Antwort!
Aber bei welchem Gleichungssystem soll ich denn denn Vektor b ansetzen? Bei dem selben bei dem ich auch U und V angewendet habe? Ich versteh den Teil leider nicht so recht, wenn ich denn Nulls setze komme ich doch wieder auf denn Lösungsansatz bei dem ich auf x1 gekommen bin?
Danke schonmal!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Di 10.02.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke schonmal für die Antwort!
> Aber bei welchem Gleichungssystem soll ich denn denn
> Vektor b ansetzen? Bei dem selben bei dem ich auch U und V
> angewendet habe? Ich versteh den Teil leider nicht so
> recht, wenn ich denn Nulls setze komme ich doch wieder auf
> denn Lösungsansatz bei dem ich auf x1 gekommen bin?
>
> Danke schonmal!
wodrauf huddel hinauswollte:
Es gilt für alle $x [mm] \in \IR^4,$ [/mm] wenn [mm] $x_{0} \in \IR^4$ [/mm] so ist, dass [mm] $Ax_{0}=b$ [/mm] gilt:
$Ax=b$
[mm] $\iff$ $Ax=Ax_{0}$ $\iff$ $A(x-{x_{0}})=0\,,$
[/mm]
wobei die 0 rechterhand die $0 [mm] \in \IR^4$ [/mm] ist (die 0 bei dem [mm] $x_0$ [/mm] soll nur andeuten,
dass [mm] $x_{0}$ [/mm] ein FESTES [mm] $\IR^4$-Element [/mm] ist!)
Damit folgt: Die Lösungsmenge [mm] $\IL \subseteq \IR^4$ [/mm] von
$Ax=b$
ist
[mm] $\IL=\{x \in \IR^4 \mid (x-x_{0}) \in \text{Ker}(A)\}=\{x_{0}+x \mid x \in \text{Ker}(A)\}=:x_{0}+\text{Ker}(A)$.
[/mm]
Letzte Gleichung legt dann folgende Strategie nahe (quasi "potentieller
Programmablauf"):
1.) Bestimme/Berechne ein
[mm] $x_{0} \in \IR^4$
[/mm]
mit [mm] $Ax_{0}=b.$ [/mm] Es wurde schon gesagt, dass [mm] $x_0=(3,0,0,-4)^T$ [/mm] dahingehend
geeignet ist!
2.) Berechne
[mm] $\text{Ker}(A)=\{x \in \IR^4\mid Ax=0\}.$
[/mm]
3.) Es ist [mm] $\IL=L(A,b)=x_0+\text{Ker}(A)=\{x_0+x \mid x \in \text{Ker}(A)\}.$
[/mm]
Ich mache es Dir auch nochmal an einem anderen Beispiel vor:
Wir suchen alle [mm] $x=(x_1,x_2)^T \in \IR^2$ [/mm] mit
(*) [mm] $\underbrace{\pmat{1 & -1 \\ -1 &1}}_{=A}*x=\vektor{1\\-1}.$
[/mm]
Unverschämterweise beginne ich mal mit Schritt 2.):
Was ist [mm] $K_A:=\text{Ker}(A)$? [/mm] Wir müssen die Menge
[mm] $K_A=\{x \in \IR^2 \mid Ax=(0,0)^T\}$
[/mm]
bestimmen: Für [mm] $x=(x_1,x_2)^T \in \IR^2$ [/mm] gilt hier
$x [mm] \in K_A$
[/mm]
[mm] $\iff$ $Ax=(0,0)^T$ $\iff$ ($x_1-x_2=0$ [/mm] und [mm] $-x_1+x_2=0$)
[/mm]
[mm] $\iff$ $x_1=x_2.$
[/mm]
Daraus folgt
(**) [mm] $K_A=\left\{r*\vektor{1\\1} \mid r \in \IR\right\}.$
[/mm]
Jetzt der Schritt 1.):
Wie bekomme ich eine spezielle Lösung [mm] $x_0$ [/mm] für (*)? Naja, ein solches [mm] $x_0=(x_{0,1},x_{0,2})^T \in \IR^2$ [/mm]
muss erfüllen
[mm] $x_{0,1}-x_{0,2}=1$ [/mm] und [mm] $-x_{0,1}+x_{0,2}=-1$.
[/mm]
Es ist also nur
[mm] $x_{0,1}=1+x_{0,2}$
[/mm]
zu erfüllen: Damit ist etwa
[mm] $x_0=\red{\vektor{12\\11}}$
[/mm]
geeignet!
3.) Wegen hier
[mm] $L(A,b)=x_0+\text{Ker}(A)\blue{=x_0+K_A}$
[/mm]
erhalten wir $L(A,b)$, indem wir die Menge hinschreiben, die entsteht, wenn wir
zu jedem Vektor aus [mm] $K_A=\text{ker}(A)$ [/mm] nun [mm] $x_0$ [/mm] draufaddieren:
[mm] $L(A,b)=\left\{\underbrace{\red{\vektor{12\\11}}+}_{\text{draufaddiert}}\;\;\;\;\;\underbrace{r*\vektor{1\\1} \mid r \in \IR}_{\substack{\text{hiermit werden alle Vektoren von }\\K_A=\text{Ker}(A) \text{erfasst, siehe }(\*\*)}}\right\}$
[/mm]
Kurz und nicht im Detail ganz korrekt gesagt: Die Lösungsmenge eines
inhomogenen linearen Gleichungssystems ist die Menge, die entsteht,
wenn man zu einer speziellen Lösung (oben genannt [mm] $x_0$) [/mm] dieses
INHOMOGENEN Gleichungssystems die Lösungsmenge des zugehörigen
homogenen Gleichungssystems addiert.
Was braucht man also? Zwei Dinge:
Sowohl die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen linearen GLS
(oben [mm] $\text{Ker}(A)$), [/mm] als auch einen speziellen Lösungsvektor des INHOMOGENEN
GLS.
Anders gesagt kannst Du auch sagen:
Die Entstehung von $L(A,b)$ ist nichts anderes als "die Hinein-Addition
einer speziellen Lösung des inhomogenen GLS $Ax=b$ in Ker(A)".
(Ker(A) ist die Lösungsmenge des zug. homogenen GLS!)
Im Falle [mm] $b=0\,$ [/mm] (Nullvektor!) siehst Du insbesondere, dass diese "Hinein-Addition"
den Kern nicht verändert. (Man würde dann nur [mm] $Ax=b\,$ [/mm] erst gar nicht inhomogen
nennen.)
P.S. Natürlich geht es oben immer nur um LINEARE GLS, auch, wenn ich
manchmal nur von GLS rede!
Gruß,
Marcel
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