Lösungsraum & Basis < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Di 18.12.2012 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | zwei Matrizen gegeben:
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 5 & 2 }
[/mm]
und
B= [mm] \pmat{ 3 & 6 & 3i & 3-3i \\ 2+3i & 4+i & 7-3i & 6i }
[/mm]
a) Bestimme die Dimension des Lösungraums des hom.GS Ax=0 mit [mm] x\in\IR^{5} [/mm] und gebe die Basis an.
b)
Bestimme für b = [mm] \vektor{9 \\ 1-i } [/mm] Den Lösungsraum des LGS Bx=b mit [mm] x\in\IC^{4} [/mm] |
Hallo,
hier habe ich einen Ansatz, jedoch komme ich nicht zum Ende
Ich nehme mir die Matrix A und bestimme das
x:= [mm] \vektor{x \\ y \\ z \\ v \\ w}
[/mm]
danach bilde ich das homogene GS:
x + y -z +4v +w =0
x +3y +z +2v +w =0
2x +5y +z +5v +2w =0
Nun wollte ich durch die ZSF den Rang bestimmen
die ZSF_Matrix lautet
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Dies würde doch bedeuten dass meine erweiterte Matrix den Rang 2 hat oder? ( wegen n-rg=L , also 4-2=2)
dann habe ich ja noch 4 Linear unabhängige Vektoren drin, diese müssten die Basis sein.
Muss ich dazu noch zeigen dass es ein minimales Erzeugsys. und Max. lu. Vektoren sind? wenn ja, dann wie? (also von der Schreibweise her)
und mal zum Ergebnis: da Müsste doch eine Ebene in Parameterform rauskommen oder?
denn es geht ja um den LösungsRAUM.
zur b) habe ich nichts wirklich sinnvolles hinbekommen da ich mir nicht sicher bin wie ich da mit der ZSF arbeiten soll, einfach nur den wert "2+3x" (unten links) zu 0 machen, oder die ganze Zeile? (Falls es überhaupt geht)
und was danach?
Danke!
( Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt )
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> zwei Matrizen gegeben:
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 & 4 & 1 \\
1 & 3 & 1 & 2 & 1 \\
2 & 5 & 1 & 5 & 2 }[/mm]
>
> und
>
> B= [mm]\pmat{ 3 & 6 & 3i & 3-3i \\
2+3i & 4+i & 7-3i & 6i }[/mm]
>
>
>
> a) Bestimme die Dimension des Lösungraums des hom.GS
> Ax=0 mit [mm]x\in\IR^{5}[/mm] und gebe die Basis an.
>
> b)
> Bestimme für b = [mm]\vektor{9 \\
1-i }[/mm] Den Lösungsraum des
> LGS Bx=b mit [mm]x\in\IC^{4}[/mm]
> Hallo,
> hier habe ich einen Ansatz, jedoch komme ich nicht zum
> Ende
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Ich nehme mir die Matrix A und bestimme das
> x:= [mm]\vektor{x \\
y \\
z \\
v \\
w}[/mm]
Mit "bestimme das x" meinst Du, daß Du guckst, wieviele Einträge der Lösungsvektor hat.
>
> danach bilde ich das homogene GS:
>
> x + y -z +4v +w =0
> x +3y +z +2v +w =0
> 2x +5y +z +5v +2w =0
Das bräuchtest Du nicht extra hinzuschreiben.
>
> Nun wollte ich durch die ZSF den Rang bestimmen
>
> die ZSF_Matrix lautet
>
> [mm]\pmat{ \red{1} & 1 & -1 & 4 & 1 & 0 \\
0 & \red{1} & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Dies würde doch bedeuten dass meine erweiterte Matrix den
> Rang 2 hat oder?
Ja.
Es bleiben zwei Nichtnullzeilen übrig, also ist der RangA=2.
>( wegen n-rg=L , also 4-2=2)
Ich weiß gerade nicht, was Du damit meinst.
>
> dann habe ich ja noch 4 Linear unabhängige Vektoren drin,
???
Ich mache Dir mal vor, wie es geht:
die führenden Elemente der Nichtnullzeilen (rot) stehen in Spalte 1 und 2.
Daher können die 3.,4.,5. Variable frei gewählt werden.
mit
w:=t
v:=s
z:=r
bekommt man aus Zeile 2
y=-z+v=-r+s,
und aus Zeile 1
x=-y+z-4v-w=(r-s)+r+(-4s)-t=2r-5s-t.
Es hat also jeder Lösungsvektor [mm] $\vektor{x \\ y \\ z \\ v \\ w}$ [/mm] die Gestalt
[mm] $\vektor{x \\ y \\ z \\ v \\ w}$=\vektor{2r-5s-t\\-r+s\\r\\s\\t}=r*\vektor{2\\-1\\1\\0\\0}+s*\vektor{-5\\1\\0\\1\\0}+t*\vektor{-1\\0\\0\\0\\1} [/mm] mit [mm] r,s,t\in \IR [/mm] ,
und die Vektoren [mm] \vektor{2\\-1\\1\\0\\0},\vektor{-5\\1\\0\\1\\0},\vektor{-1\\0\\0\\0\\1} [/mm] bilden zusammen eine Basis des Lösungsraumes des betrachteten homogenen LGS.
> zur b) habe ich nichts wirklich sinnvolles hinbekommen da
> ich mir nicht sicher bin wie ich da mit der ZSF arbeiten
> soll, einfach nur den wert "2+3i" (unten links) zu 0
> machen,
Ja, genau.
Dann sinngemaäß weiter wie oben.
LG Angela
> oder die ganze Zeile? (Falls es überhaupt geht)
> und was danach?
>
>
>
> Danke!
>
> ( Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Aguero |
Danke für die Mühe!
ich soll aber noch die Dimension bestimmen und dies wollte ich über die Dimensionsformel machen.
diese lautet
dim (n) = Dim Ker(f) + dim Im(f)
und somit
n= Dim [mm] L_h [/mm] + rg(A)
also
[mm] L_h [/mm] = n-rg(A)
ist das nicht richtig?
wenn mein Rang 2 ist (denn ich habe bei der ZSF zwei Zeilen ohne Null)
wie ist dann meine Dimension des Lösungsraums und wie lese ich es genau ab, bzw wie soll ich mir es vorstellen?
und nochmal zu allen "dim"s einzelnt
rg(A) =lese ich ab an den Nichtnullzeilen der ZSF ab.
dim Lh =an den Zeilen der erweiterten Koeffizientenmatrix?? oder sind diese Zeilen doch Dim(n)
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> Danke für die Mühe!
> ich soll aber noch die Dimension bestimmen
Hallo,
daß die Dimension die Anzahl der Elemente der Basis ist, ist Dir aber klar, oder?
> und dies wollte
> ich über die Dimensionsformel machen.
Gut.
Kontrollieren wir die Dimension damit.
> diese lautet
> dim (n) = Dim Ker(f) + dim Im(f)
Was nun dim(n) bedeutet...
Da Du eine [mm] 3\times [/mm] 5-Matrix vorliegen hast, gilt
[mm] 5=dim(KernA)+dim(BildA)=dim(L_h)+rg(A).
[/mm]
> und somit
> n= Dim [mm]L_h[/mm] + rg(A)
> also
> [mm]L_h[/mm] = n-rg(A)
>
> ist das nicht richtig?
> wenn mein Rang 2 ist (denn ich habe bei der ZSF zwei
> Zeilen ohne Null)
Genau.
> wie ist dann meine Dimension des Lösungsraums
[mm] dimL_h=5-2=3.
[/mm]
> und wie
> lese ich es genau ab, bzw wie soll ich mir es vorstellen?
Eine jegliche basis des Lösungsraumes hat drei Elemente.
>
> und nochmal zu allen "dim"s einzelnt
> rg(A) =lese ich ab an den Nichtnullzeilen der ZSF ab.
Ja.
> dim Lh
Hatte ich Dir ja bei der Bestimmung der Basis vorgemacht:
schau in der ZSF der Koeffizientenmatrix, in wievielen Spalten kein führendes Element einer Nichtnullzeile steht.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Aguero |
(...)
> [mm]5=dim(KernA)+dim(BildA)=dim(L_h)+rg(A).[/mm]
(...)
also
dim(n) = 5 , da 5 Spalten von Vektoren in der Matrix vorhanden sind
dim(KernA) bzw. [mm] dim(L_h) [/mm] = 3 , da in 3 Spalten kein führendes Element einer Nichtnullzeile steht (nach der bildung der ZSF)
dim(BildA) bzw. rg(A) = 2, da zwei zeilen übrig bleiben (nach der bildung der ZSF), in denen Einträge vorhanden sind!
richtg...? :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Aguero |
so ich habe nun die ZSF raus.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1i & 1-1i & 3 \\ 0 & 1 & 1+2i & -1-1i & 2-1i }
[/mm]
x [mm] \in \IC^{4}
[/mm]
setze nun z:= r und v:= s
auflösen ergibt
x= -1 +2i +2r+3ir -3s-i
y= 2 -i -r-2ir +s+is
demnach gilt
[mm] \vektor{x \\ y \\ z \\ v} [/mm] = [mm] \vektor{-1+2i \\ 2-i \\ 0 \\ 0} [/mm] +r [mm] \* \vektor{2+3i \\ -1-2i \\ 1 \\ 0} [/mm] + s [mm] \* \vektor{-3-i \\ 1+i \\ 0 \\ 1} [/mm] mit r, s [mm] \in \IR
[/mm]
Element [mm] \IR [/mm] ist richtig oder? da die richtungsvektoren aus [mm] \IC [/mm] bestehen.
das wäre meine Lösung!
fehlt da noch was? es wird ja nur nach dem Lösungsraum gefragt, dieses wäre ein lösungsraum oder?
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Hallo Aguero,
> Zur Aufgabe b)
> so ich habe nun die ZSF raus.
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1i & 1-1i & 3 \\ 0 & 1 & 1+2i & -1-1i & 2-1i }[/mm]
>
> x [mm]\in \IC^{4}[/mm]
> setze nun z:= r und v:= s
>
> auflösen ergibt
> x= -1 +2i +2r+3ir -3s-i
> y= 2 -i -r-2ir +s+is
>
> demnach gilt
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z \\ v}[/mm] = [mm]\vektor{-1+2i \\ 2-i \\ 0 \\ 0}[/mm]
> +r [mm]\* \vektor{2+3i \\ -1-2i \\ 1 \\ 0}[/mm] + s [mm]\* \vektor{-3-i \\ 1+i \\ 0 \\ 1}[/mm]
> mit r, s [mm]\in \IR[/mm]
>
r und s müssen doch aus [mm]\IC[/mm] sein.
> Element [mm]\IR[/mm] ist richtig oder? da die richtungsvektoren aus
> [mm]\IC[/mm] bestehen.
>
> das wäre meine Lösung!
> fehlt da noch was? es wird ja nur nach dem Lösungsraum
> gefragt, dieses wäre ein lösungsraum oder?
Ja, das ist alles.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Aguero |
(...)
>
> r und s müssen doch aus [mm]\IC[/mm] sein.
>
>
(...)
müssen die Parameter nicht immer aus den reellen zahlen kommen?
die richtungsvektoren enthalten doch schon die komplexen zahlen...
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Hallo Aguero,
> (...)
> >
> > r und s müssen doch aus [mm]\IC[/mm] sein.
> >
> >
> (...)
>
> müssen die Parameter nicht immer aus den reellen zahlen
> kommen?
Nein, das steht in der Teilaufgabe b) nicht.
> die richtungsvektoren enthalten doch schon die komplexen
> zahlen...
Gruss
MathePower
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Hallo Aguero,
> (...)
> > [mm]5=dim(KernA)+dim(BildA)=dim(L_h)+rg(A).[/mm]
> (...)
>
> also
> dim(n) = 5 , da 5 Spalten von Vektoren in der Matrix
> vorhanden sind
> dim(KernA) bzw. [mm]dim(L_h)[/mm] = 3 , da in 3 Spalten kein
> führendes Element einer Nichtnullzeile steht (nach der
> bildung der ZSF)
> dim(BildA) bzw. rg(A) = 2, da zwei zeilen übrig bleiben
> (nach der bildung der ZSF), in denen Einträge vorhanden
> sind!
>
> richtg...? :)
>
Ja.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Aguero |
(...)
>
> Es hat also jeder Lösungsvektor [mm]\vektor{x \\ y \\ z \\ v \\ w}[/mm]
> die Gestalt
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z \\ v \\ w}[/mm][mm] =\vektor{2r-5s-t\\-r+s\\r\\s\\t}=r*\vektor{2\\-1\\1\\0\\0}+s*\vektor{-5\\1\\0\\1\\0}+t*\vektor{-1\\0\\0\\0\\1}[/mm]
> mit [mm]r,s,t\in \IR[/mm] ,
>
> und die Vektoren
> [mm]\vektor{2\\-1\\1\\0\\0},\vektor{-5\\1\\0\\1\\0},\vektor{-1\\0\\0\\0\\1}[/mm]
> bilden zusammen eine Basis des Lösungsraumes des
> betrachteten homogenen LGS.
>
>
muss ich nicht die basisvektoren noch im span oder so aufschreiben?
wäre es so richtig: span(b1,b2,b3)
???
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Hallo Aguero,
> (...)
> >
> > Es hat also jeder Lösungsvektor [mm]\vektor{x \\ y \\ z \\ v \\ w}[/mm]
> > die Gestalt
> >
> > [mm]\vektor{x \\ y \\ z \\ v \\ w}[/mm][mm] =\vektor{2r-5s-t\\-r+s\\r\\s\\t}=r*\vektor{2\\-1\\1\\0\\0}+s*\vektor{-5\\1\\0\\1\\0}+t*\vektor{-1\\0\\0\\0\\1}[/mm]
> > mit [mm]r,s,t\in \IR[/mm] ,
> >
> > und die Vektoren
> >
> [mm]\vektor{2\\-1\\1\\0\\0},\vektor{-5\\1\\0\\1\\0},\vektor{-1\\0\\0\\0\\1}[/mm]
> > bilden zusammen eine Basis des Lösungsraumes des
> > betrachteten homogenen LGS.
> >
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
>
> muss ich nicht die basisvektoren noch im span oder so
> aufschreiben?
Nein, das ist nicht notwendig.
> wäre es so richtig: span(b1,b2,b3)
> ???
Gruss
MathePower
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