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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Mo 15.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
ich habe eine Frage zu einem Lösungsfundamentalsystem eines homogenen linearen Systems $y'(x)=A(x)y(x)$, wobei y ein Vektor ist mit Komponentenfunktionen [mm] $y_1,...,y_n$. [/mm] Wir haben jetzt in einem Beweis unter Zuhilfenahme von Picard-Lindelöf gezeigt, dass für verschiedene Anfangswerte [mm] $c_i$ [/mm] in [mm] $x_0$ [/mm] die [mm] $y_i(x_0) [/mm] $ linear unabhängig sind.
Jetzt ging es im weiteren Verlauf darum zuzeigen, dass diese Lösungen auch, wenn man den Punkt [mm] $x_1$ [/mm] betrachtet linear unabhängig bleiben.
Dazu wurde angenommen, die Lösungen seien hier linear abhängig, sodass es [mm] $\lambda_i [/mm] $ gibt, die nicht alle 0 sind mit [mm] $\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i [/mm] =0$. Jetzt kommt der Punkt, wo ich hake: Der Prof hat jetzt gesagt, man könne aus der letzten Gleichung folgern, dass die [mm] $y_i(x_1)=0$ [/mm] erfüllen. Wieso ist das so bzw., wie kann man das sehen?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Mo 15.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> ich habe eine Frage zu einem Lösungsfundamentalsystem
> eines homogenen linearen Systems [mm]y'(x)=A(x)y(x)[/mm], wobei y
> ein Vektor ist mit Komponentenfunktionen [mm]y_1,...,y_n[/mm]. Wir
> haben jetzt in einem Beweis unter Zuhilfenahme von
> Picard-Lindelöf gezeigt, dass für verschiedene
> Anfangswerte [mm]c_i[/mm] in [mm]x_0[/mm] die [mm]y_i(x_0)[/mm] linear unabhängig
> sind.
> Jetzt ging es im weiteren Verlauf darum zuzeigen, dass
> diese Lösungen auch, wenn man den Punkt [mm]x_1[/mm] betrachtet
> linear unabhängig bleiben.
> Dazu wurde angenommen, die Lösungen seien hier linear
> abhängig, sodass es [mm]\lambda_i[/mm] gibt, die nicht alle 0 sind
> mit [mm]\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i =0[/mm]. Jetzt kommt der Punkt,
> wo ich hake: Der Prof hat jetzt gesagt, man könne aus der
> letzten Gleichung folgern, dass die [mm]y_i(x_1)=0[/mm] erfüllen.
> Wieso ist das so bzw., wie kann man das sehen?
> Viele Grüße,
> Reynir
ich hab so meine Schwierigkeiten mit Deinen Bezeichnungen und Deiner Frage.
Es ist also [mm] \{y_1,...,y_n\} [/mm] ein Lösungssystem für das homogene System [mm]y'(x)=A(x)y(x)[/mm]. Dabei sei D der Definitionsbereich von A. Somit sind die [mm] y_i [/mm] alle auf D definiert.
Sei L die Menge aller Lösungen von [mm]y'(x)=A(x)y(x)[/mm]. Dann sind äquivalent:
(1) [mm] \{y_1,...,y_n\} [/mm] ist ein Fundamentalsystem von [mm]y'(x)=A(x)y(x)[/mm], d.h.: [mm] \{y_1,...,y_n\} [/mm] ist linear unabhängig in L.
(2) für jedes x [mm] \in [/mm] D ist [mm] \{y_1(x),...,y_n(x)\} [/mm] linear unabhängig in [mm] \IR^n
[/mm]
(3) es gibt ein [mm] \xi \in [/mm] D mit: [mm] \{y_1(\xi),...,y_n(\xi)\} [/mm] ist linear unabhängig in [mm] \IR^n
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mo 15.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
sowie ich unseren Beweis verstehe (zeigen, dass der Lösungsraum Dimension n hat) geht es um $3 [mm] \Rightarrow [/mm] 1$. Er nimmt dann an, dass die Lösungen für einen Punkt linear unabhängig sind und folgert dann einen Widerspruch, allerdings verstehe ich nicht, wie er da vorgeht. Er sagt angenommen die Lösungen wären in einem weiteren Punkt linear abhängig, dann kann man aus der Linearkombinantion mit den Lambdas folgern, dass die Anfangsbedingung in [mm] $x_1$ [/mm] mit [mm] $y_i(x_1)=0$ [/mm] erfüllt wird. Er notierte es als [mm] $(x_1,0)$. [/mm]
Ich kann leider nicht mehr sagen als, dass, was ich jetzt noch gesagt habe, weil ich allein schon das mit den [mm] $y_i [/mm] $ zusammenreimen musste.
Was ist an meiner Frage noch unverständlich, dann können wir vielleicht zusammen Klarheit schaffen.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 Di 16.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> sowie ich unseren Beweis verstehe (zeigen, dass der
> Lösungsraum Dimension n hat) geht es um
> [mm]3 \Rightarrow 1[/mm].
Aha! Und was ist 1,2,3 ?????
> Er nimmt dann an, dass die Lösungen für einen Punkt
> linear unabhängig sind und folgert dann einen Widerspruch,
> allerdings verstehe ich nicht, wie er da vorgeht. Er sagt
> angenommen die Lösungen wären in einem weiteren Punkt
> linear abhängig, dann kann man aus der Linearkombinantion
> mit den Lambdas folgern, dass die Anfangsbedingung in [mm]x_1[/mm]
> mit [mm]y_i(x_1)=0[/mm] erfüllt wird. Er notierte es als [mm](x_1,0)[/mm].
> Ich kann leider nicht mehr sagen als, dass, was ich jetzt
> noch gesagt habe, weil ich allein schon das mit den [mm]y_i[/mm]
> zusammenreimen musste.
> Was ist an meiner Frage noch unverständlich, dann können
> wir vielleicht zusammen Klarheit schaffen.
> Viele Grüße,
> Reynir
Wenn ich Dich richtig verstanden habe, so haben wir folgende Situation:
1. [mm] y_1,...,y_n [/mm] sind n Lösungen des Systems y'=A(x)y.
2. für ein [mm] x_0 \in \IR [/mm] sind
[mm] y_1(x_0),...,y_n(x_0) [/mm] linear unabhängig in [mm] \IR^n.
[/mm]
3. ist [mm] x_1 \in \IR [/mm] und [mm] x_1 \ne x_0, [/mm] so soll gezeigt werden, dass
[mm] y_1(x_1),...,y_n(x_1) [/mm] ebenfalls linear unabhängig in [mm] \IR^n [/mm] sind.
Dazu nimmt Dein Prof an
[mm] y_1(x_1),...,y_n(x_1) [/mm] sind linear abhängig in [mm] \IR^n.
[/mm]
Somit gibt es [mm] t_1,...,t_n \in \IR [/mm] mit
[mm] t_1y_1(x_1)+...+t_ny_n(x_1) [/mm] =0 und nicht alle [mm] t_i=0.
[/mm]
( ich schreibe [mm] t_i [/mm] statt [mm] \lambda_i).
[/mm]
Ich setze nun z:= [mm] t_1y_1+...+t_ny_n. [/mm] Dann ist z eine Lösung des Anfangswertproblems
y'=A(x)y
[mm] y(x_1)=0
[/mm]
Dieses AWP hat noch eine weitere Lösung, nämlich $y [mm] \equiv [/mm] 0$. Nun ist aber das AWP eindeutig lösbar, folglich ist $z [mm] \equiv [/mm] 0$. Das bedeutet:
z(x)=0 für alle x.
Mit [mm] x=x_0 [/mm] bekommen wir
[mm] t_1y_1(x_0)+...+t_ny_n(x_0) [/mm] =0
Aus 2. resultiert dann der Widerspruch [mm] t_1=...=t_n=0
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Di 16.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Danke, jetzt habe ich es verstanden. Mit 1, 2 und 3 bezog ich mich auf die Nummerierungen von dir bei der Äquivalenz.
Viele Grüße,
Reynir
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