Lösungsmöglichkeiten eines GLS < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei das Gleichungssystem mit den Paramtern a und b:
5ax + 2y + 2z = 5b
2ax + 1y + 1z = 2b
8ax + 3y + 3z = 8b
Welche Lösungsmöglichkeiten existieren für dieses Gleichungssystem und geben sie die entsprechende Parameterwerte an.
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Also ich fange wie immer an, ich überführe das Gleichungssystem in Matrizenform und löse es mit dem "Stufenschema".
D.h.:
[mm] \pmat{ 5ax & 2y & 2z\\ 2ax & 1y & 1z\\ 8ax & 3y & 3z} \pmat{ 5b\\ 2b\\ 8b }
[/mm]
[mm] \pmat{ 5ax & 2y & 2z\\ 0 & -1/2y & -1/2z\\ 0 & -1/8y & -1/8z} \pmat{ 5b\\ 0\\ 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 5/4ax & 0 & 0\\ 0 & -1/2y & -1/2z\\ 0 & -1/2y & -1/2z} \pmat{ 5/4b\\ 0\\ 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ ax & 0 & 0\\ 0 & y & z\\ 0 & 0 & 0} \pmat{ b\\ 0\\ 0 }
[/mm]
Weil es ein GLS mit den Paramter a und b ist, kann ich y,z und x als "1" hinschreiben, oder?
[mm] \pmat{ a & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0} \pmat{ b\\ 0\\ 0 }
[/mm]
Dann geht es weiter - wenn nach Lösungsmöglichkeiten von Paramtern gefragt ist, muss man eine differenzierte Antwort geben. D.h. man hat 3 Fälle.
1) a=0 und b=0
2) a [mm] \not=0 [/mm] und b=0
3) a=0 und b [mm] \not=0
[/mm]
Und ab hier verlässt mich dann mein Halbwissen. Wie mache ich nun konkret weiter ?
Danke für jede hilfreiche Antwort!
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Hallo,
lass die x, y und z schon im ersten Schritt raus und dann wirds richtig. Wie musst du jetzt a, b wählen, so dass das GS keine Lösung, eine Lösung oder mehr als eine Lösung hat? Dabei musst du die Ränge beachten und zwar von
[mm] \pmat{5a & 2 & 2 \\ 2a & 1 & 1 \\ 8a & 3 & 3} [/mm] mit
[mm] \pmat{5a & 2 & 2 & 5b \\ 2a & 1 & 1 & 2b \\ 8a & 3 & 3 & 8b }.
[/mm]
erste ist die normale Koeffizientenmatrix und zweite die erweiterte (um den Lösungsvektor) Koeffizientenmatrix.
Tipp: Wenn der Rang der erwe. KM größer (nicht größer gleich) als der der normale KM ist, dann gibt es keine Lösung.
Ich glaube das schaffst du.
Steffen
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Also wenn a=0 und b [mm] \not=0 [/mm] ist, dann ist der Rang der KM=1 und der Rang der SM=2 (< Anzahl der Vektoren) gibt es keine Lösung.
Wie ich gerade gesehen hab (in meinen Unterlagen), gibt es noch 2 folgende Lösungen:
Wenn a=0 und b=0 ist dann [mm] \vec{x}= \lambda \pmat{ 1\\ 0\\ 0 } [/mm] - [mm] \mu \pmat{ 0\\ 1\\ -1 }
[/mm]
Wenn a [mm] \not=0 [/mm] und b=beliebig dann [mm] \vec{x}= \pmat{ b/a\\ 0\\ 0 } [/mm] - [mm] \mu \pmat{ 0\\ 1\\ -1 }
[/mm]
Da wir so etwas noch nicht gerechnet haben, bräuchte ein paar Tipps wie ich auf die Lösung komm.
Danke! ;)
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Hallo alexchill.
stimme denn deine Unterlagen? sei deine Stufenform wie oben (die kann auch falsch sein, ich habe das nicht nachgerechnet), also
[mm] \pmat{ a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } \pmat{ b \\ 0 \\ 0}
[/mm]
dein erster Fall: a = 0 und b = 0, dann sieht die Matrix so aus
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
jetzt in Stufenform bringen
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0}. [/mm] Nun fügt man in den Nullzeilen (und nur da) eine -1 auf den Diagonalelementen ein, also
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 } \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und erhält dann als Lösungen (Lösungsvektoren sind also immer die, wo man die -1 einträgt)
U = ( a * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] + b * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] ). Normalerweise kommt an den anfng noch der Vektor mit den b's dazu, aber da b = 0 entfällt das hier. Ich frage dich deshalb ob deine Aufzeichnungen stimmen, da die angegebene Lösung von dir dann richtig sein würde, wenn man die ursprüngliche Matrix (mit a,b = 0) beibehalten würde, also
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] dann auf Diagonalelementen die -1 eintragen
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 } \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0}, [/mm] ergibt Lösungsmenge
U1 = ( a* [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + b* [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -1}).
[/mm]
Ich hoffe das prinzip ist klar.
S.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Fr 19.05.2006 | | Autor: | alexchill |
Ok vielen Dank, das Prinzip ist logisch!
In den Lösungsunterlagen wo es zum kaufen gibt (zu den jeweiligen Klausuren), ist genau die Lösung abgedruckt die ich oben gepostet habe. Auch die Matrize ist korrekt gelöst. Aber ich habe derweilen schon Fehler in den Lösungsblättern gefunden - von dem her muss es nicht 100% korrekt sein.
Danke für deine Hilfe!
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