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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Di 22.01.2008 | | Autor: | Dan-T |
| Aufgabe | Es sei a eine vorgegebene Zahl, [mm] a\in\IR_{+} [/mm] . Für welche reellen Zahlen x gilt:
|x-3+|x|| [mm] \le [/mm] a ?
Zeichnen Sie die Lösungsmenge. Hinweis: Die Lösungsmenge hängt von a ab. |
Ich habe mir zunächst mit einer schlichten Wertetabelle beholfen.
für x= -5, ist y= 3
für x= -4, ist y= 3
für x= -3, ist y= 3
für x= -2, ist y= 3
für x= -1, ist y= 3
für x= 0, ist y= 3
für x= 1, ist y= 1
für x= 2, ist y= 1
für x= 3, ist y= 3
für x= 4, ist y= 5
für x= 5, ist y= 7
d.h. bei 1,5 berüht man die x-Achse.
So wenn ich jetzt nicht ganz falsch liege, müssen alle Werte die für die Lösungsmenge in Betracht kommen positiv sein d.h. alles oberhalb der Strecken von (0;3) über (1,5;0) bis (3;3) und dann immer weiter ansteigend ist die gesuchte Lösungsmenge?
So kann das stimmen?
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Hallo!
Deine Wertetabelle ist richtig, die Funktion selbst besteht aus drei einzelnen Graden:
7 ++---+----------+---------+----------+----------+---+*
| + + + + + **
| **|
| * |
6 ++ * ++
| ** |
| ** |
5 ++ * ++
| ** |
| ** |
| * |
4 ++ * ++
| ** |
| ** |
| * |
3 **************************** ** ++
| ** ** |
| * * |
| ** * |
2 ++ ** ** ++
| ** ** |
| * * |
1 ++ ** ** ++
| ** ** |
| * * |
| + + + *** + + |
0 ++---+----------+---------+-------**-+----------+---++
-4 -2 0 2 4
Um jetzt auf die Ungleichung zurückzukommen: Zeichne nun noch eine Grade mit y=a ein. Die Lösungsmenge besteht nun als allen x, für die die Funktion unterhalb dieser Graden oder genau drauf liegt.
Für a<3 bekommst du ein beschränktes Intervall, darüber hinaus gibt's nur noch eine obere Grenze, weil die untere Grenze ins negativ unendliche geht.
Gut, in so weit hast du deine Lösung zusammengezimmert, aber anstatt der Wertetabelle solltest du schon auch ne Fallunterscheidung machen, und so auf algebraischem Weg Formeln für die Teilstücke der Funktion herleiten, insbesondere, weil du die Formeln ja auch zur Angabe der grenzen abhängig von a brauchst. Da du die Lösung schon kennst, sollte das ja nicht schwierig sein.
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