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| Aufgabe | Gegeben seien [mm] p\in\IR, A=\pmat{ p & 1 & 2 \\ 2 & 1 & p \\ 1 & 1 & 2} [/mm] und [mm] \vec{b}=\vektor{1 \\ 1 \\ 3-p}
[/mm]
a) Berechnen Sie die Determinante von A
b) Für welche p hat [mm] A\vec{x}=\vec{b} [/mm] genau eine Lösung?
c) Für welche p hat [mm] A\vec{x}=\vec{b} [/mm] keine Lösung?
d) Für welche p hat [mm] A\vec{x}=\vec{b} [/mm] mehr als eine Lösung? Geben Sie in diesem Fall die Lösungsmenge an. |
Hallo zusammen!
Ich komm mal wieder nicht weiter:
a) nach der Sarrusregel ist det A = [mm] -p^2+3p-2
[/mm]
für b), c), d) habe ich die Lösungen von [mm] p^2-3p+2=0 [/mm] bestimmt [mm] (p_1=2, p_2=1)
[/mm]
da [mm] A\vec{x}=\vec{b} [/mm] für det A [mm] \not= [/mm] 0 genau eine Lösung hat, lautet die Antwort zu b): [mm] \IL=\IR [/mm] ohne [mm] \{1,2\}
[/mm]
det A = 0 bedeutet entweder keine Lösung (bei rg A [mm] \not= [/mm] rg [mm] (A|\vec{b}) [/mm] bzw. unendlich viele Lösungen für rg A = rg [mm] (A|\vec{b}. [/mm] Ich hab also die Ränge für p=1 und p=2 bestimmt.
Für p=1 ist das LGS unlösbar, für p=2 stimmen die Ränge überein, also gibt es mehr als eine Lösung. Wie komme ich da jetzt auf die Lösungsmenge?
Gruß,
Honko
PS: Hat ein unlösbares LGS einen Rang? Konktret habe ich eine Zeile im LGS mit Nullen auf der linken Seite und einer 1 auf der rechten Seite.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Di 23.03.2010 | | Autor: | Cybrina |
> Hallo zusammen!
Hallo.
> Ich komm mal wieder nicht weiter:
>
> a) nach der Sarrusregel ist det A = [mm]-p^2+3p-2[/mm]
>
> für b), c), d) habe ich die Lösungen von [mm]p^2-3p+2=0[/mm]
> bestimmt [mm](p_1=2, p_2=1)[/mm]
>
> da [mm]A\vec{x}=\vec{b}[/mm] für det A [mm]\not=[/mm] 0 genau eine Lösung
> hat, lautet die Antwort zu b): [mm]\IL=\IR[/mm] ohne [mm]\{1,2\}[/mm]
>
> det A = 0 bedeutet entweder keine Lösung (bei rg A [mm]\not=[/mm]
> rg [mm](A|\vec{b})[/mm] bzw. unendlich viele Lösungen für rg A =
> rg [mm](A|\vec{b}.[/mm] Ich hab also die Ränge für p=1 und p=2
> bestimmt.
>
> Für p=1 ist das LGS unlösbar, für p=2 stimmen die Ränge
> überein, also gibt es mehr als eine Lösung.
Bis dahin stimmt alles.
> Wie komme ich
> da jetzt auf die Lösungsmenge?
Du löst das Gleichungssystem! Gauß-Verfahren. Du kommst da am Ende auf 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Eine davon hälst du als Variable fest, z.B. [mm] z=\lambda [/mm] und drückst die anderen dann in Abhängigkeit von [mm] \lambda [/mm] aus. So kommst du auf eine Lösung der Form
[mm] \left\{\vektor{ \\ \\ }+\lambda\vektor{ \\ \\ }\right\}
[/mm]
> Gruß,
>
> Honko
>
> PS: Hat ein unlösbares LGS einen Rang? Konktret habe ich
> eine Zeile im LGS mit Nullen auf der linken Seite und einer
> 1 auf der rechten Seite.
Wie jetzt? LGS haben doch eigentlich keinen Rang. Die Matrizen haben einen Rang. Da hat dann (A|b) eben Rang 3.
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Danke erstmal für deine Hilfe!
> Du löst das Gleichungssystem! Gauß-Verfahren. Du kommst
> da am Ende auf 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Eine davon
> hälst du als Variable fest, z.B. [mm]z=\lambda[/mm] und drückst
> die anderen dann in Abhängigkeit von [mm]\lambda[/mm] aus. So
> kommst du auf eine Lösung der Form
> [mm]\left\{\vektor{ \\ \\ }+\lambda\vektor{ \\ \\ }\right\}[/mm]
>
Okay, das leuchtet ein ^^
>
> Wie jetzt? LGS haben doch eigentlich keinen Rang. Die
> Matrizen haben einen Rang. Da hat dann (A|b) eben Rang 3.
Wie kommen denn dann die Kriterien für das Lösungsverhalten von (nxn)-LGS zustande? Bei LGS mit singulären Matrizen (also det A=0) entscheidet doch der Unterschied zwischen rg A und rg [mm] (A|\vec{b}) [/mm] ob ein LGS keine oder mehrere Lösungen hat.
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> > Wie jetzt? LGS haben doch eigentlich keinen Rang. Die
> > Matrizen haben einen Rang. Da hat dann (A|b) eben Rang 3.
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> Wie kommen denn dann die Kriterien für das
> Lösungsverhalten von (nxn)-LGS zustande? Bei LGS mit
> singulären Matrizen (also det A=0) entscheidet doch der
> Unterschied zwischen rg A und rg [mm](A|\vec{b})[/mm] ob ein LGS
> keine oder mehrere Lösungen hat.
Hallo,
ja, man betrachtet die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b).
Ist Rang A =Rang (A|b), dann ist das System lösbar,
ist Rang A < Rang (A|b), dann ist das System nicht lösbar.
Man kann also über die Lösbarkeit des Gleichungssystems anhand des Ranges seiner (erweiterten) Koeffizientenmatrix entscheiden.
Gruß v. Angela
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